Nos Exercicios 7 e 8 , (a) expresse
e
como funções de
e
utilizando a regra da cadeia e também expressando
diretamente em termos de
e
antes de diferenciar. Em seguida, (b) calcule
e
no ponto dado
.
8.
8.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
usando a regra da cadeia. Primeiro, vamos entender que
está definido em termos de
e
, que por sua vez são funções de
e
. Então, vamos aplicar a regra da cadeia para expressar essas derivadas em termos de
e
, e também expressar
diretamente em função de
e
antes de diferenciar. Depois, vamos calcular esses valores no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever
em termos de
e
:
Sabemos que
e
. Vamos substituir esses valores na expressão de
:
Simplificando
no numerador e no denominador:
E sabemos que
, então:
Passo 3
Agora que temos
diretamente em termos de
, podemos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeiro, vamos calcular
. Observamos que
não depende de
diretamente, apenas de
. Portanto:
Em seguida, vamos calcular
:
Passo 4
Agora, vamos usar a regra da cadeia para encontrar
e
.
A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, calculemos
e
:
Agora, as derivadas de
e
em relação a
e
:
Substituindo tudo na regra da cadeia:
Passo 5
Agora, vamos simplificar essas expressões. Sabemos que
e
. Então,
.
Substituindo isso nas derivadas:
Passo 6
Chegamos então às expressões das derivadas parciais:
Resposta
No ponto dado
: