Nos Exercicios 7 e 8 , (a) expresse partial z / partial u e partial z / partial v como funções de u e v utilizando a regra da cadeia e também expressando z diretamente em termos de u e v antes de diferenciar. Em seguida, (b) calcule partial z / partial u e partial z / partial v no ponto dado (u, v).
8. z=tg^-1(x / y), x=u cos v, y=u sen v ; (u, v)=(1,3 ; pi / 6)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de em relação a e usando a regra da cadeia. Primeiro, vamos entender que está definido em termos de e , que por sua vez são funções de e . Então, vamos aplicar a regra da cadeia para expressar essas derivadas em termos de e , e também expressar diretamente em função de e antes de diferenciar. Depois, vamos calcular esses valores no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever z = tan^-1(xy) em termos de z = tan^-1(u cos vu sin v) e z = tan^-1(cos vsin v) = tan^-1(cot v) :
z = tan^-1(tan(pi2 - v)) = pi2 - v
Sabemos que e . Vamos substituir esses valores na expressão de :
Simplificando no numerador e no denominador:
E sabemos que , então:

Passo 3

Agora que temos partial zpartial u = 0 diretamente em termos de partial zpartial v = ddv(pi2 - v) = -1 , podemos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Primeiro, vamos calcular . Observamos que não depende de diretamente, apenas de . Portanto:
Em seguida, vamos calcular :

Passo 4

Agora, vamos usar a regra da cadeia para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u e partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v .
A regra da cadeia para funções de várias variáveis nos diz que:
z = tan^-1(xy)
partial zpartial x = 11 + (xy)^2 cdot 1y = yx^2 + y^2
Vamos calcular cada uma dessas derivadas parciais.
Primeiro, calculemos partial zpartial y = 11 + (xy)^2 cdot (-xy^2) = -xx^2 + y^2 e partial xpartial u = cos v, partial xpartial v = -u sin v :
partial ypartial u = sin v, partial ypartial v = u cos v
partial zpartial u = yx^2 + y^2 cdot cos v + (-xx^2 + y^2) cdot sin v
partial zpartial v = yx^2 + y^2 cdot (-u sin v) + (-xx^2 + y^2) cdot u cos v
Agora, as derivadas de e em relação a e :
Substituindo tudo na regra da cadeia:

Passo 5

Agora, vamos simplificar essas expressões. Sabemos que partial zpartial u = u sin vu^2 cdot cos v - u cos vu^2 cdot sin v = sin v cos vu - cos v sin vu = 0 e partial zpartial v = u sin vu^2 cdot (-u sin v) - u cos vu^2 cdot u cos v = -u sin^2 vu^2 - u cos^2 vu^2 = -sin^2 v + cos^2 vu = -1u . Então, .
Substituindo isso nas derivadas:

Passo 6

Chegamos então às expressões das derivadas parciais:
partial zpartial u = 0
partial zpartial v = -1u

Resposta

No ponto dado partial zpartial u = 0 :
partial zpartial v = -1

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