Seja a função f definida por
f(x, y, z, w)=e^(xy-zw)
Verifique que
x partial fpartial x+y partial fpartial y+z partial fpartial z+w partial fpartial w=0

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de quatro variáveis:
f(x, y, z, w) = e^(xy - zw)
A pergunta quer que a gente mostre que a combinação x partial fpartial x + y partial fpartial y + z partial fpartial z + w partial fpartial w resulta em zero. Para fazer isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de f em relação a cada variável e depois multiplicar cada derivada pela respectiva variável, somando tudo no final.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x , que é partial fpartial x .
Sabemos que se temos uma função da forma e^g(x, y, z, w) , a derivada em relação a x é e^g cdot partial gpartial x .
Então, temos:
partial fpartial x = e^(xy - zw) cdot partialpartial x(xy - zw)
Calculando a derivada dentro:
partialpartial x(xy - zw) = 1y
Então:
partial fpartial x = e^(xy - zw) cdot 1y

Passo 3

Agora, vamos calcular x partial fpartial x :
x partial fpartial x = x cdot e^(xy - zw) cdot 1y = xy e^(xy - zw)

Passo 4

Vamos repetir o mesmo processo para y partial fpartial y .
Primeiro, a derivada parcial de f em relação a y :
partial fpartial y = e^(xy - zw) cdot partialpartial y(xy - zw)
Calculando a derivada dentro:
partialpartial y(xy - zw) = -xy^2
Então:
partial fpartial y = e^(xy - zw) cdot (-xy^2)
Multiplicando por y :
y partial fpartial y = y cdot e^(xy - zw) cdot (-xy^2) = -xy e^(xy - zw)

Passo 5

Agora, para z partial fpartial z :
Derivada parcial de f em relação a z :
partial fpartial z = e^(xy - zw) cdot partialpartial z(xy - zw)
Calculando a derivada dentro:
partialpartial z(xy - zw) = -1w
Então:
partial fpartial z = e^(xy - zw) cdot (-1w)
Multiplicando por z :
z partial fpartial z = z cdot e^(xy - zw) cdot (-1w) = -zw e^(xy - zw)

Passo 6

Por fim, para w partial fpartial w :
Derivada parcial de f em relação a w :
partial fpartial w = e^(xy - zw) cdot partialpartial w(xy - zw)
Calculando a derivada dentro:
partialpartial w(xy - zw) = zw^2
Então:
partial fpartial w = e^(xy - zw) cdot zw^2
Multiplicando por w :
w partial fpartial w = w cdot e^(xy - zw) cdot zw^2 = zw e^(xy - zw)

Passo 7

Agora, vamos somar todas as partes que calculamos:
x partial fpartial x + y partial fpartial y + z partial fpartial z + w partial fpartial w = xy e^(xy - zw) - xy e^(xy - zw) - zw e^(xy - zw) + zw e^(xy - zw)
Observando os termos:
  • xy e^(xy - zw) - xy e^(xy - zw) = 0
  • - zw e^(xy - zw) + zw e^(xy - zw) = 0
Então, a soma total é:
0 + 0 = 0

Resposta

0

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