Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
Considere a função f(x, y)=x phi(xy), onde phi(u) é uma função derivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de f passam pela origem.

Passo 1

Estamos no tópico de derivadas parciais e geometria de superfícies. Tem-se o gráfico da função
z=f(x,y)=x,phi!l(xyr)
e queremos, num ponto genérico (x0,y0) (assumindo y0neq0), a equação do plano tangente e da reta normal. Vamos precisar do gradiente de f.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais de
f(x,y)=x,phi!l(xyr)
Defina u=tfracxy. Pela regra da cadeia,
fx(x,y) =phi(u) + x,phi'(u),partialpartial x!l(tfracxyr) =phi!l(tfracxyr) +xy,phi'!l(tfracxyr),
fy(x,y) =x,phi'(u),partialpartial y!l(tfracxyr) =x,phi'!l(tfracxyr)l(-xy^2r) =-x^2y^2,phi'!l(tfracxyr)
Em (x0,y0) chamemos u0=tfracx0y0, então
fx(x0,y0) =phi(u0)+x0y0phi'(u0), fy(x0,y0) =-x0^2y0^2phi'(u0)

Passo 3

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em l(x0,y0,z0r) com z0=x0phi(u0) é
z-z0 =fx(x0,y0),(x-x0) +fy(x0,y0),(y-y0)
Substituindo,
z - x0phi(u0) =l[phi(u0)+tfracx0y0phi'(u0)r](x-x0) -x0^2y0^2phi'(u0),(y-y0)

Passo 4

Para provar que todo plano tangente assim passa pela origem (0,0,0), basta verificar que ao colocar (x,y,z)=(0,0,0) a igualdade se mantém. O lado esquerdo fica
0 - x0phi(u0)=-x0phi(u0),
e o direito é
l[phi(u0)+tfracx0y0phi'(u0)r](0-x0) -x0^2y0^2phi'(u0)(0-y0) =-x0phi(u0),
logo coincide. Portanto (0,0,0) satisfaz o plano, e todos os planos tangentes passam pela origem.

Passo 5

O vetor normal ao plano tangente é l(fx(x0,y0),,fy(x0,y0),,-1r). Assim a reta normal, em forma simétrica, é
x - x0;phi(u0)+tfracx0y0phi'(u0); =y - y0-tfracx0^2y0^2phi'(u0) =z - x0phi(u0)-1

Resposta

Equação do plano tangente em :
que satisfaz .
Equação da reta normal:

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