Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função dada, no ponto dado.
Considere a função
, onde
é uma função derivável de uma variável. Mostre que os planos tangentes ao gráfico de
passam pela origem.
Considere a função
Passo 1
Estamos no tópico de derivadas parciais e geometria de superfícies. Tem-se o gráfico da função
e queremos, num ponto genérico
(assumindo
), a equação do plano tangente e da reta normal. Vamos precisar do gradiente de
.
Passo 2
Calculemos as derivadas parciais de
Defina
. Pela regra da cadeia,
Em
chamemos
, então
Passo 3
A equação do plano tangente a
em
com
é
Substituindo,
Passo 4
Para provar que todo plano tangente assim passa pela origem
, basta verificar que ao colocar
a igualdade se mantém. O lado esquerdo fica
e o direito é
logo coincide. Portanto
satisfaz o plano, e todos os planos tangentes passam pela origem.
Passo 5
O vetor normal ao plano tangente é
. Assim a reta normal, em forma simétrica, é
Resposta
Equação do plano tangente em
:
que satisfaz
.
Equação da reta normal:
Equação da reta normal: