Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
Passo 1
Estamos encarando o limite da função
quando . O conteúdo é análise de limite de função de várias variáveis e vamos usar a propriedade de continuidade da raiz quadrada em seu domínio e um argumento de aproximação por norma.
Passo 2
Observamos que, no domínio, deve valer
para que a expressão dentro da raiz seja não negativa. Ao aproximar de , temos
Passo 3
Escrevemos a diferença entre e o valor conjecturado do limite (que suspeitamos ser ):
Como para r pequeno temos raiz1 - r^2 + 1 >= 1, resulta
l|raiz1 - r^2 - 1r| <= r^2
E sabemos que r^2to0 quando rto0.
Passo 4
Pelo argumento acima, dado qualquer varepsilon>0, basta escolher de<a=raizvarepsilon para ter r<de<aimplies|f(x,y,z)-1|<= r^2<varepsilon. Logo