Determine o limite, se existir, ou mostre que o limite não existe.
f(x, y, z)=raiz1-x^2-y^2-z^2

Passo 1

Estamos encarando o limite da função
f(x,y,z)=raiz1 - x^2 - y^2 - z^2
quando (x,y,z)to(0,0,0). O conteúdo é análise de limite de função de várias variáveis e vamos usar a propriedade de continuidade da raiz quadrada em seu domínio e um argumento de aproximação por norma.

Passo 2

Observamos que, no domínio, deve valer
x^2+y^2+z^2<=1,
para que a expressão dentro da raiz seja não negativa. Ao aproximar (x,y,z) de (0,0,0), temos
r = raizx^2+y^2+z^2;longrightarrow;0

Passo 3

Escrevemos a diferença entre f(x,y,z) e o valor conjecturado do limite (que suspeitamos ser 1):
l|raiz1 - r^2 ;-; 1r| = l(1 - r^2r) - 1raiz1 - r^2 + 1 = -,r^2raiz1 - r^2 + 1 = r^2raiz1 - r^2 + 1
Como para r pequeno temos raiz1 - r^2 + 1 >= 1, resulta
l|raiz1 - r^2 - 1r| <= r^2
E sabemos que r^2to0 quando rto0.

Passo 4

Pelo argumento acima, dado qualquer varepsilon>0, basta escolher de<a=raizvarepsilon para ter r<de<aimplies|f(x,y,z)-1|<= r^2<varepsilon. Logo
lim(x,y,z)to(0,0,0)raiz1 - x^2 - y^2 - z^2=1

Resposta

1

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