Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
f(x, y, z)=e^{x+y+2 z} ; \quad f_{x y z}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y,z)=e^{x+y+2z} e pede a derivada parcial mista de terceira ordem f_{xyz}.
Informações relevantes: a função é explícita, suave (exponencial) e dependente de x, y e z. A tarefa é calcular
f_{xyz}=\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)\right),
ou seja, derivar primeiro em x, depois em y e finalmente em z.

Passo 2

Lembrete rápido e do jeitinho que você pediu: o que é derivada parcial? Para uma função de várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo x) é a derivada que obtemos tratando as outras variáveis como constantes. A regra para a derivada da função exponencial é que
\frac{d}{dt}e^{g(t)} = e^{g(t)}\cdot g'(t).
Aqui aplicamos isso ao caso parcial: ao derivar e^{x+y+2z} em relação a x, a derivada do expoente x+y+2z em relação a x é 1. Portanto, ao calcular \partial f/\partial x usamos a regra da cadeia (mesma ideia).
Calculemos a primeira derivada parcial:
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\big(e^{x+y+2z}\big) = e^{x+y+2z}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(x+y+2z).
Como \frac{\partial}{\partial x}(x+y+2z)=1, temos
\frac{\partial f}{\partial x} = e^{x+y+2z}.

Passo 3

Agora derivamos \frac{\partial f}{\partial x} em relação a y. Novamente, a expressão é e^{x+y+2z}, e ao derivar em relação a y a derivada do expoente em relação a y é 1. Então:
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial y}\big(e^{x+y+2z}\big) = e^{x+y+2z}\cdot \frac{\partial}{\partial y}(x+y+2z).
Como \frac{\partial}{\partial y}(x+y+2z)=1, obtemos
\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} = e^{x+y+2z}.

Passo 4

Finalmente derivamos a expressão anterior em relação a z. Agora ao diferenciar e^{x+y+2z} em relação a z a derivada do expoente x+y+2z em relação a z é 2. Aplicando a regra da cadeia:
\frac{\partial^3 f}{\partial z\partial y\partial x} = \frac{\partial}{\partial z}\big(e^{x+y+2z}\big) = e^{x+y+2z}\cdot \frac{\partial}{\partial z}(x+y+2z).
Como \frac{\partial}{\partial z}(x+y+2z)=2, segue que
f_{xyz}=\frac{\partial^3 f}{\partial x\partial y\partial z}=2e^{x+y+2z}.
Observação útil para a prova: para funções suficientemente suaves (como exponencial), a ordem das diferenciações mistas não importa (teorema de Clairaut), então você obteria o mesmo resultado diferenciando em outra ordem.

Resposta

f_{xyz}=2e^{x+y+2z}

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