Forneça a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s) a seguir.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada parcial mista de terceira ordem
.
Informações relevantes: a função é explícita, suave (exponencial) e dependente de ,
e
. A tarefa é calcular
Informações relevantes: a função é explícita, suave (exponencial) e dependente de
ou seja, derivar primeiro em
, depois em
e finalmente em
.
Passo 2
Lembrete rápido e do jeitinho que você pediu: o que é derivada parcial? Para uma função de várias variáveis, a derivada parcial em relação a uma variável (por exemplo
) é a derivada que obtemos tratando as outras variáveis como constantes. A regra para a derivada da função exponencial é que
Aqui aplicamos isso ao caso parcial: ao derivar
em relação a
, a derivada do expoente
em relação a
é
. Portanto, ao calcular
usamos a regra da cadeia (mesma ideia).
Calculemos a primeira derivada parcial:
Como
, temos
Passo 3
Agora derivamos
em relação a
. Novamente, a expressão é
, e ao derivar em relação a
a derivada do expoente em relação a
é
. Então:
Como
, obtemos
Passo 4
Finalmente derivamos a expressão anterior em relação a
. Agora ao diferenciar
em relação a
a derivada do expoente
em relação a
é
. Aplicando a regra da cadeia:
Como
, segue que
Observação útil para a prova: para funções suficientemente suaves (como exponencial), a ordem das diferenciações mistas não importa (teorema de Clairaut), então você obteria o mesmo resultado diferenciando em outra ordem.