Seja 2 x+y+3 z=6 a equação do plano tangente ao gráfico de f(x, y) no ponto ( 1,1,1 ).
a) Calcule \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) e \frac{\partial f}{\partial y}(1,1).
b) Determine a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (1, 1, 1).

Passo 1

O enunciado dá a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto (1,1,1):
2x+y+3z=6.
As perguntas são:
a) Calcular \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) e \frac{\partial f}{\partial y}(1,1).
b) Determinar a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (1,1,1).
Informações relevantes que temos do enunciado:
  • O ponto de tangência no gráfico é (x,y,z)=(1,1,1). Logo f(1,1)=1.
  • O plano tangente é dado por 2x+y+3z=6.

Passo 2

Conceito útil (explicação didática): se uma superfície é o gráfico de f, isto é z=f(x,y), a equação do plano tangente em (x_0,y_0,f(x_0,y_0)) tem a forma (linearização de primeira ordem)
z = f(x_0,y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\,(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui cada símbolo significa:
  • f(x_0,y_0) é o valor da função no ponto de tangência (a altura z naquele ponto).
  • \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0) é a derivada parcial em x no ponto, que aparece como coeficiente de (x-x_0).
  • \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0) é a derivada parcial em y no ponto, que aparece como coeficiente de (y-y_0).
    Na prática, para comparar um plano dado com essa forma basta pôr o plano na forma z= (algo linear em x,y) e identificar os coeficientes de (x-x_0) e (y-y_0).

Passo 3

Vamos escrever o plano dado explicitamente como z= alguma coisa. Começamos por isolar z em
2x+y+3z=6.
Subtraindo 2x+y de ambos os lados:
3z = 6 - 2x - y.
Dividindo por 3:
z = 2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}y.

Passo 4

Verificação do valor no ponto: substituindo x=1 e y=1 na expressão obtida,
z = 2 - \frac{2}{3}\cdot 1 - \frac{1}{3}\cdot 1 = 2 - \frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 2 - 1 = 1,
confirmando f(1,1)=1 como já sabíamos.
Agora escrevemos a expressão de z de forma centrada em (1,1), isto é como 1 + A(x-1)+B(y-1). Calculamos:
z = 2 - \frac{2}{3}x - \frac{1}{3}y
vamos reescrever como
z = 1 + \Big(-\frac{2}{3}\Big)(x-1) + \Big(-\frac{1}{3}\Big)(y-1).
(Verifique expandindo: 1 -\tfrac{2}{3}(x-1) -\tfrac{1}{3}(y-1) = 2 - \tfrac{2}{3}x -\tfrac{1}{3}y.)

Passo 5

Comparando com a fórmula do plano tangente
z = f(1,1) + \frac{\partial f}{\partial x}(1,1)\,(x-1) + \frac{\partial f}{\partial y}(1,1)\,(y-1),
vemos que os coeficientes são
\frac{\partial f}{\partial x}(1,1) = -\frac{2}{3}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) = -\frac{1}{3}.
Então já temos as derivadas parciais pedidas.

Passo 6

Agora a reta normal: explicação didática — a reta normal ao gráfico no ponto de tangência tem direção dada por um vetor normal ao plano tangente. Para um plano dado por
ax+by+cz=d
um vetor normal ao plano é (a,b,c). No nosso caso o plano tangente é 2x+y+3z=6, logo um vetor normal é (2,1,3). Esse mesmo vetor é a direção da reta normal ao gráfico no ponto (1,1,1).

Passo 7

Escrevemos a reta normal em forma paramétrica, com parâmetro t, passando por (1,1,1) e direção (2,1,3):
\begin{cases} x = 1 + 2t,\\[4pt] y = 1 + t,\\[4pt] z = 1 + 3t. \end{cases}
Também podemos escrever em forma simétrica:
\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{3}.]

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(1,1) = -\tfrac{2}{3}
\displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(1,1) = -\tfrac{1}{3}
Reta normal (paramétrica): \displaystyle x=1+2t,\; y=1+t,\; z=1+3t.

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