Seja
a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto (
).
a) Calcule
e
.
b) Determine a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (1, 1, 1).
a) Calcule
b) Determine a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto (1, 1, 1).
Passo 1
O enunciado dá a equação do plano tangente ao gráfico de
no ponto
:
As perguntas são:
a) Calcular e
.
b) Determinar a equação da reta normal ao gráfico de no ponto
.
a) Calcular
b) Determinar a equação da reta normal ao gráfico de
Informações relevantes que temos do enunciado:
- O ponto de tangência no gráfico é
. Logo . - O plano tangente é dado por
.
Passo 2
Conceito útil (explicação didática): se uma superfície é o gráfico de
, isto é
, a equação do plano tangente em
tem a forma (linearização de primeira ordem)
Aqui cada símbolo significa:
-
é o valor da função no ponto de tangência (a altura naquele ponto). -
é a derivada parcial em no ponto, que aparece como coeficiente de . -
é a derivada parcial em no ponto, que aparece como coeficiente de .
Na prática, para comparar um plano dado com essa forma basta pôr o plano na forma(algo linear em ) e identificar os coeficientes de e .
Passo 3
Vamos escrever o plano dado explicitamente como
alguma coisa. Começamos por isolar
em
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
:
Passo 4
Verificação do valor no ponto: substituindo
e
na expressão obtida,
confirmando
como já sabíamos.
Agora escrevemos a expressão de
de forma centrada em
, isto é como
. Calculamos:
vamos reescrever como
(Verifique expandindo:
.)
Passo 5
Comparando com a fórmula do plano tangente
vemos que os coeficientes são
Então já temos as derivadas parciais pedidas.
Passo 6
Agora a reta normal: explicação didática — a reta normal ao gráfico no ponto de tangência tem direção dada por um vetor normal ao plano tangente. Para um plano dado por
um vetor normal ao plano é
. No nosso caso o plano tangente é
, logo um vetor normal é
. Esse mesmo vetor é a direção da reta normal ao gráfico no ponto
.
Passo 7
Escrevemos a reta normal em forma paramétrica, com parâmetro
, passando por
e direção
:
Também podemos escrever em forma simétrica:
Resposta
Reta normal (paramétrica):