Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x, y) nos pontos indicados.
f(x, y)=e^x y no ponto (1,2)

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos a superfície definida por
z = f(x,y) = e^x y
e queremos a equação do plano tangente e da reta normal a essa superfície no ponto (1,2). Para isso, precisamos calcular f(1,2) e as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y, usar a fórmula do plano tangente e, em seguida, obter um vetor normal para escrever a reta.

Passo 2

Calcular o valor de f e as derivadas parciais em (1,2).
Como
f(1,2) = e^1cdot 2 = e^2,
e
partial fpartial x(x,y) = y,e^xy, partial fpartial y(x,y) = x,e^xy,
segue que
partial fpartial x(1,2) = 2,e^2, partial fpartial y(1,2) = 1cdot e^2 = e^2

Passo 3

A fórmula do plano tangente a z=f(x,y) em (x0,y0,z0) é
z - z0 = fx(x0,y0),(x - x0) + fy(x0,y0),(y - y0)
Aqui (x0,y0,z0) = (1,2,e^2), fx(1,2)=2e^2 e fy(1,2)=e^2. Logo,
z - e^2 = 2e^2(x-1) + e^2(y-2)
Podemos também expor de forma expandida:
z = e^2 + 2e^2(x-1) + e^2(y-2)

Passo 4

Para a reta normal usamos o vetor normal ao plano tangente, que é
l(fx(1,2),,fy(1,2),,-1r) = l(2e^2,,e^2,,-1r)
A parametrização da reta normal que passa por (1,2,e^2) com esse vetor direção é
x = 1 + 2e^2,t, y = 2 + e^2,t, z = e^2 - t, tinR

Resposta

Plano tangente:
z = e^2 + 2e^2(x-1) + e^2(y-2)
Reta normal:
x = 1 + 2e^2,t, y = 2 + e^2,t, z = e^2 - t, tinR

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