Verifique se são diferenciáveis as funções dadas nos pontos indicados
f(x, y)=e^x+y no ponto (1,-1)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função
f(x,y)=e^x+y
é diferenciável no ponto (1,-1). O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos precisar do critério de existência e continuidade das derivadas parciais.

Passo 2

Recordamos que, se as derivadas parciais de f existem numa vizinhança de (1,-1) e são contínuas em (1,-1), então f é diferenciável ali. Em outras palavras, existe uma aproximação linear
f(1+h,,-1+k)=f(1,-1)+L(h,k)+R(h,k),
com R(h,k)/raizh^2+k^2to0 quando (h,k)to(0,0).

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=e^x+y, partial fpartial y(x,y)=e^x+y
Essas funções são composições de exponencial e soma, logo são contínuas em toda R^2.

Passo 4

Em particular, no ponto (1,-1) temos
partial fpartial x(1,-1)=e^1+(-1)=e^0=1, partial fpartial y(1,-1)=1
Assim, a forma linear de primeira ordem é
L(h,k)=1cdot h+1cdot k=h+k

Passo 5

Para ver o resto R(h,k) definimos
R(h,k)=f(1+h,-1+k)-f(1,-1)-L(h,k) =e^(1+h)+(-1+k)-1-(h+k) =e^h+k-1-(h+k)
Como e^t=1+t+o(t) para tto0, segue R(h,k)=o(h+k). E como lvert h+krvert<=raiz2raizh^2+k^2, temos
R(h,k)raizh^2+k^2to0 quando(h,k)to(0,0)
Isso confirma a diferenciabilidade de f em (1,-1).

Resposta

A função f(x,y)=e^x+y é diferenciável em (1,-1) e seu diferencial é
df(1,-1)(h,k)=h+k

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