Verifique se são diferenciáveis as funções dadas nos pontos indicados
no ponto
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função
é diferenciável no ponto
. O conteúdo é diferenciabilidade de funções de duas variáveis e vamos precisar do critério de existência e continuidade das derivadas parciais.
Passo 2
Recordamos que, se as derivadas parciais de
existem numa vizinhança de
e são contínuas em
, então
é diferenciável ali. Em outras palavras, existe uma aproximação linear
com
quando
.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
:
Essas funções são composições de exponencial e soma, logo são contínuas em toda
.
Passo 4
Em particular, no ponto
temos
Assim, a forma linear de primeira ordem é
Passo 5
Para ver o resto
definimos
Como
para
, segue
. E como
, temos
Isso confirma a diferenciabilidade de
em
.
Resposta
A função
é diferenciável em
e seu diferencial é