Determine as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x, y) nos pontos indicados.
f(x, y)=x y no ponto (3,3).

Passo 1

O enunciado pede as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico da função
f(x,y)=x,y
no ponto (3,3).
O conteúdo aqui é cálculo de plano tangente a superfícies z=f(x,y) usando derivadas parciais e obtenção da reta normal a partir do vetor normal ao plano.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de f:
partial fpartial x(x,y)=y, partial fpartial y(x,y)=x
No ponto (x0,y0)=(3,3) temos
fx(3,3)=3, fy(3,3)=3, z0=f(3,3)=3cdot3=9

Passo 3

A equação do plano tangente a z=f(x,y) em (3,3,9) é dada por
z - z0 ;=; fx(3,3),(x-3);+;fy(3,3),(y-3)
Substituindo,
z - 9 = 3,(x-3) + 3,(y-3)

Passo 4

Para a reta normal usamos o vetor normal ao plano, que é
n = l(fx(3,3),,fy(3,3),,-1r) = (3,3,-1)
Tomando parâmetro t, a forma paramétrica da reta pelo ponto (3,3,9) é
x = 3 + 3t, y = 3 + 3t, z = 9 - t

Resposta

A equação do plano tangente é
z - 9 = 3(x - 3) + 3(y - 3)
A equação paramétrica da reta normal é
x = 3 + 3t, y = 3 + 3t, z = 9 - t

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