Resolva as equações diferenciais abaixo:
9 y^prime prime+4 y=0

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos encontrar a solução geral da equação diferencial 9 y’’ + 4 y = 0. Esse exercício aborda EDOs lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes e vamos usar a técnica da equação característica.

Passo 2

Escrevemos a equação característica substituindo y por uma solução da forma e^{r x}, o que nos dá 9 r^2 + 4 = 0.

Passo 3

Dividimos a equação característica por 9 para simplificar: r^2 + \tfrac{4}{9} = 0. Logo, r^2 = -\tfrac{4}{9} e as raízes são r = \pm \tfrac{2}{3}i.

Passo 4

Como as raízes são complexas conjugadas α ± iβ (aqui α = 0 e β = \tfrac{2}{3}), a solução geral para esse caso é dada por y(x) = C_1 e^{α x} \cos(β x) + C_2 e^{α x} \sin(β x). Com α = 0, isso vira funções senoidais puras.

Passo 5

Substituindo α e β encontramos a solução geral y(x) = C_1 \cos\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr) + C_2 \sin\bigl(\tfrac{2x}{3}\bigr), onde C_1 e C_2 são constantes de integração.

Resposta

y(x) = C1 cosl(tfrac2x3r) + C2 sinl(tfrac2x3r)

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