Resolva as equações diferenciais abaixo:
2 d^2 yd x^2+2 d yd x-y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO homogênea de 2ª ordem com coeficientes constantes
2 d^2ydx^2 + 2 dydx - y = 0
O conteúdo aqui é método do polinômio característico e fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y = e^r x. Então
y' = r e^r x,
y'' = r^2 e^r x
Substituindo na EDO e fatorando e^r x (que nunca é zero), obtemos o polinômio característico
2r^2 + 2r - 1 = 0

Passo 3

Para resolver
2r^2 + 2r - 1 = 0
usamos a fórmula de Bhaskara com a=2, b=2 e c=-1:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a = -2 pm raiz4 + 84 = -2 pm 2raiz34 = -1 pm raiz32

Passo 4

As raízes são reais e distintas: r1 = -1 + raiz32 e r2 = -1 - raiz32. Logo, a solução geral da EDO é dada por
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x

Resposta

y(x) = C_1 e^{\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}x} + C_2 e^{\frac{-1 - \sqrt{3}}{2}x}

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