Determine o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados
f(x, y, z)=z e^x y no ponto (1,-1,2)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o vetor gradiente da função f(x,y,z)=z,e^xy no ponto (1,-1,2). Para isso vamos usar o conceito de derivadas parciais, pois
nabla f(x,y,z)=l(partial fpartial x,,partial fpartial y,,partial fpartial zr)

Passo 2

Calculamos cada derivada parcial:
Como partialpartial xe^xy=y,e^xy e z é constante em relação a x,
partial fpartial x(x,y,z)=zcdot y,e^xy=y,z,e^xy
De modo similar, usando partialpartial ye^xy=x,e^xy,
partial fpartial y(x,y,z)=zcdot x,e^xy=x,z,e^xy
Por fim, derivando em relação a z consideramos e^xy constante, obtendo
partial fpartial z(x,y,z)=e^xy

Passo 3

Agora avaliamos no ponto (1,-1,2). Aqui xy=1cdot(-1)=-1 e e^-1=1/e. Portanto,
partial fpartial x(1,-1,2)=(-1)cdot2cdot e^-1=-2e, partial fpartial y(1,-1,2)=1cdot2cdot e^-1=2e, partial fpartial z(1,-1,2)=e^-1=1e

Resposta

nabla f(1,-1,2)=l(-tfrac2e,;tfrac2e,;tfrac1er)

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