Determine as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor (1,1,1) e que distam raiz3 do ponto (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede as equações dos planos que são perpendiculares ao vetor (1,1,1) e cuja distância ao ponto (1,1,1) é raiz3. Vamos usar (a) o fato de que plano perpendicular a um vetor significa que esse vetor é normal ao plano, e (b) a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Seja n=(1,1,1) o vetor normal. A forma geral de um plano com essa normal é
x+y+z+D=0,
onde D é uma constante a determinar.

Passo 3

A distância de um ponto (x0,y0,z0) ao plano x+y+z+D=0 é
l|1cdot x0+1cdot y0+1cdot z0 + Dr|raiz1^2+1^2+1^2
Aplicando ao ponto (1,1,1) obtemos
l|1+1+1+Dr|raiz3 =|3+D|raiz3
e essa deve ser igual a raiz3.

Passo 4

Impondo |3+D|raiz3=raiz3 resulta em
|3+D|=3
Logo 3+D=3 ou 3+D=-3, o que dá D=0 ou D=-6.

Resposta

As duas equações são
x+y+z=0
e
x+y+z=6

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