Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
a) Seja
um grupo. Prove que o centro de
,é um subgrupo normal de
.
a) Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o centro de um grupo
, definido por
é um subgrupo normal de
. Isto envolve dois pontos: (i) provar que
é subgrupo de
e (ii) provar que para todo
vale
.
Passo 2
Provar que
é subgrupo de
usando o critério de subgrupo:
. Não‐vazio: o elemento neutro
de
comuta com todo
, logo
.
. Fechamento sob produto: sejam
. Então para todo
logo
.
. Fechamento sob inverso: seja
, então para todo
temos
. Multiplicando à esquerda por
e à direita por
obtemos
logo
.
Assim, .
Assim,
Passo 3
Provar que
é normal em
. Seja
e
. Precisamos ver que
, ou seja, que comuta com qualquer
. De fato,
pois
comuta com
. Logo
para todo
, e
.