Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
a) Seja G um grupo. Prove que o centro de G, Z(G),é um subgrupo normal de G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o centro de um grupo G, definido por
Z(G)=,zin Gmid forall gin G:;zg=gz,
é um subgrupo normal de G. Isto envolve dois pontos: (i) provar que Z(G) é subgrupo de G e (ii) provar que para todo gin G vale g,Z(G),g^-1subseteq Z(G).

Passo 2

Provar que Z(G) é subgrupo de G usando o critério de subgrupo:
1. Não‐vazio: o elemento neutro e de G comuta com todo g in G, logo e in Z(G).
2. Fechamento sob produto: sejam a,b in Z(G). Então para todo g in G
(ab),g = a,(b,g) = a,(g,b) = (a,g),b = (g,a),b = g,(a,b),
logo ab in Z(G).
3. Fechamento sob inverso: seja a in Z(G), então para todo g in G temos a,g = g,a. Multiplicando à esquerda por a^-1 e à direita por a^-1 obtemos
g = a^-1,(a,g) = a^-1,(g,a)Longrightarrow a^-1,g = g,a^-1,
logo a^-1 in Z(G).
Assim, Z(G) <= G.

Passo 3

Provar que Z(G) é normal em G. Seja zin Z(G) e gin G. Precisamos ver que g,z,g^-1in Z(G), ou seja, que comuta com qualquer xin G. De fato,
(g,z,g^-1),x = g,l(z,(g^-1x)r) = g,l((g^-1x),zr) = (g,g^-1),x,z = x,z = x,(g,z,g^-1),
pois z comuta com g^-1x. Logo g,z,g^-1in Z(G) para todo g, e Z(G)triang<=<=ft G.

Resposta

Z(G) é um subgrupo normal de G, ou seja,
Z(G)triang<=<=ft G

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