Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
b) Seja G=Z (os inteiros sob a adição) e H=2 Z (os múltiplos de 2). Prove que H é um subgrupo normal de G.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que G=(Z,+) e o subgrupo
H=2Z=,2kmid kinZ
fazem de H um subgrupo normal de G.
Para isso precisamos de duas coisas:
  1. Provar que H é subgrupo de G.
  2. Provar que H é normal em G, ou seja, para todo gin G e todo hin H vale
g+h-gin H

Passo 2

Mostrando que H é subgrupo de (Z,+) pelo teste de subgrupo:
— Não-vazio: como
0 = 2cdot 0 in H,
logo Hneqvarnothing.
— Fechamento: sejam a,bin H. Então existem k,k'inZ tais que
a=2k, b=2k'
Daí
a+b = 2k + 2k' = 2(k+k') in H
— Inverso: seja ain H, com a=2k. Então
-a = -2k = 2(-k)in H
Portanto H satisfaz os requisitos de subgrupo.

Passo 3

Mostrando que H é normal em G. Em (Z,+) a inversa de g é -g, e a conjugação é
g + h +(-g)=g+h-g
Mas para todo hin H temos
g + h - g = h,
e como hin H, segue que g+h-gin H.
Assim
gHg^-1subset H
para todo gin G, isto é, H é normal.

Resposta

H=2Z é um subgrupo normal de Z.

Exercícios relacionados