Questão 1 ( 0,5 pontos) Resolva os itens sobre subgrupos normais:
b) Seja
(os inteiros sob a adição) e
(os múltiplos de 2). Prove que
é um subgrupo normal de
.
b) Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
e o subgrupo
fazem de
um subgrupo normal de
.
Para isso precisamos de duas coisas:
Para isso precisamos de duas coisas:
- Provar que
é subgrupo de . - Provar que
é normal em , ou seja, para todo e todo vale
Passo 2
Mostrando que
é subgrupo de
pelo teste de subgrupo:
— Não-vazio: como
— Não-vazio: como
logo
.
— Fechamento: sejam . Então existem
tais que
— Fechamento: sejam
Daí
— Inverso: seja
, com
. Então
Portanto
satisfaz os requisitos de subgrupo.
Passo 3
Mostrando que
é normal em
. Em
a inversa de
é
, e a conjugação é
Mas para todo
temos
e como
, segue que
.
Assim
Assim
para todo
, isto é,
é normal.