Seja pi o plano que contém os pontos P=(1,2,3), Q=(2,3,1) e R=(3,1,2). Qual a distância deste plano à origem?

Passo 1

O enunciado pede a distância do plano pi que passa pelos pontos
P=(1,2,3), Q=(2,3,1), R=(3,1,2)
até a origem. Isso envolve dois ingredientes: primeiro obter a equação do plano, encontrando um vetor normal via produto vetorial; depois usar a fórmula da distância de um ponto a um plano em R^3:
d = l|Ax0+By0+Cz0+Dr|raizA^2+B^2+C^2

Passo 2

Calculemos u=Q-P e v=R-P:
u=(2-1,;3-2,;1-3)=(1,1,-2), v=(3-1,;1-2,;2-3)=(2,-1,-1)
Pelo produto vetorial n=utimesv, obtemos
nx = uyvz - uzvy = 1cdot(-1) - (-2)cdot(-1) = -1 - 2 = -3,
ny = uzvx - uxvz = (-2)cdot2 - 1cdot(-1) = -4 + 1 = -3,
nz = uxvy - uyvx = 1cdot(-1) - 1cdot2 = -1 - 2 = -3
Logo n=(-3,-3,-3), que podemos simplificar (multiplicando por -tfrac13) para
n=(1,1,1).

Passo 3

Com n=(1,1,1) e sabendo que o plano passa por P=(1,2,3), a equação geral é
1cdot x + 1cdot y + 1cdot z + D = 0
Substituindo P obtemos 1+2+3 + D = 0, logo D=-6. Portanto
x + y + z - 6 = 0

Passo 4

Para a distância da origem (0,0,0) aplicamos
d = l|1cdot0 + 1cdot0 + 1cdot0 - 6r|raiz1^2+1^2+1^2 = |-6|raiz3 = 6raiz3 = 2raiz3

Resposta

A distância do plano à origem é 2raiz3.

Exercícios relacionados