QUESTÃO 1 (2,0 pontos): Seja
g(x)=\int_{0}^{x^{2}} t \cos \left(\frac{t}{2}\right) d t
(a) Mostre que g^{\prime}(x)=2 x^{3} \cos \left(\frac{x^{2}}{2}\right).
(b) Calcule g(\sqrt{\pi}).

Passo 1

O enunciado define a função
g(x) = \int_{0}^{x^{2}} t\cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt
e pede duas coisas: (a) encontrar g'(x) e (b) calcular g(\sqrt{\pi}). Para (a) usaremos o Teorema Fundamental do Cálculo junto com a regra da cadeia; para (b) faremos uma integração por partes e avaliaremos o resultado de 0 a \pi.

Passo 2

Para achar g'(x), note que o limite superior da integral é x^2. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo e regra da cadeia,
g'(x) = \frac{d}{dx}\int_{0}^{x^{2}} t\cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt = \bigl[x\mapsto x^2\bigr]' \,\times\, \bigl(t\cos(t/2)\bigr)\bigl|_{t=x^2} = 2x\cdot\bigl(x^2\cos(x^2/2)\bigr).

Passo 3

Simplificando a expressão do passo anterior, obtemos
g'(x) = 2x^3\cos\!\Bigl(\frac{x^2}{2}\Bigr).

Passo 4

Para calcular g(\sqrt{\pi}), observamos que
g(\sqrt{\pi}) = \int_{0}^{(\sqrt{\pi})^2} t\cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt = \int_{0}^{\pi} t\cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt.
Faremos integração por partes escolhendo
\;u = t, \;dv = \cos(t/2)\,dt.

Passo 5

Calculamos du = dt e
v = \int \cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt = 2\sin\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr).
Logo,
\int t\cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt = u\,v - \int v\,du = 2t\sin\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr) - \int 2\sin\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt.
E
\int \sin\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt = -2\cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr),
portanto
\int t\cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt = 2t\sin\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr) + 4\cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr) + C.

Passo 6

Agora avaliamos de 0 a \pi:
\int_{0}^{\pi} t\cos\!\Bigl(\frac{t}{2}\Bigr)\,dt =\Bigl[\,2t\sin\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)+4\cos\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr)\Bigr]_{0}^{\pi} = \bigl(2\pi\sin\tfrac{\pi}{2}+4\cos\tfrac{\pi}{2}\bigr) - \bigl(0+4\cos 0\bigr) = 2\pi - 4.

Resposta

(a) g'(x)=2x^{3}\cos\!\bigl(\tfrac{x^{2}}{2}\bigr).
(b) g(\sqrt{\pi})=2\pi-4.

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