Determine a inversa das funções:
f: R+ [2,+infty), f(x)=e^3 raizx+1

Passo 1

O enunciado dá a função fcolon R+to[2,+infty),
f(x)=e^3raizx+1
O conteúdo é função inversa: precisamos mostrar que f é bijetora e, a seguir, resolver y=f(x) para x.

Passo 2

Mostramos que f é estritamente crescente e que sua imagem é exatamente [2,+infty). Como x>=0 implica raizx>=0, temos 3raizx>=0 e portanto e^3raizx>=1. Logo
f(x)=e^3raizx+1>=2,
o que garante a imagem mínima igual a 2. Além disso, a composição de funções crescentes ( raizcdot, multiplicação por 3, exponencial e soma de 1) é crescente, portanto f é injetora. Como a imagem de f coincide com o contradomínio dado, f é bijetora e, assim, invertível.

Passo 3

Para achar a inversa, seja y=f(x). Então
y = e^3raizx + 1
Subtraindo 1 de ambos os lados,
y - 1 = e^3raizx
Aplicando o logaritmo natural,
ln(y-1) = 3raizx
Isolando raizx,
raizx = ln(y-1)3
Elevando ambos os lados ao quadrado,
x = 19l[ln(y-1)r]^2
Isso define a inversa de f para y>=2.

Resposta

f^-1(y) = 19l[ln(y-1)r]^2, yin[2,+infty)

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