Determine a inversa das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
,
O conteúdo é função inversa: precisamos mostrar que
é bijetora e, a seguir, resolver
para
.
Passo 2
Mostramos que
é estritamente crescente e que sua imagem é exatamente
. Como
implica
, temos
e portanto
. Logo
o que garante a imagem mínima igual a
. Além disso, a composição de funções crescentes (
, multiplicação por
, exponencial e soma de
) é crescente, portanto
é injetora. Como a imagem de
coincide com o contradomínio dado,
é bijetora e, assim, invertível.
Passo 3
Para achar a inversa, seja
. Então
Subtraindo
de ambos os lados,
Aplicando o logaritmo natural,
Isolando
,
Elevando ambos os lados ao quadrado,
Isso define a inversa de
para
.