Determine a inversa das funções:
f: R+ [-1,+infty), f(x)=x^2-1.

Passo 1

O enunciado pede a função inversa de
fcolon R+to[-1,+infty) definida por
f(x)=x^2-1.
O conteúdo aqui é encontrar a inversa de uma função estritamente crescente em R+.

Passo 2

Primeiro, verificamos que em R+=[0,+infty) a função xmapsto x^2-1 é injetora e seu valor mínimo ocorre em x=0, dando f(0)=-1. Assim, a imagem é de fato [-1,+infty) e f é bijetora entre R+ e [-1,+infty).

Passo 3

Para achar a inversa, seja y=f(x). Então
y = x^2-1
Agora resolvemos para x, lembrando que x>=0.

Passo 4

Isolando x temos
x^2 = y + 1 Longrightarrow x = raiz,y+1,,
e escolhemos o sinal positivo porque x está em R+.

Passo 5

Portanto, a função inversa f^-1 leva um valor yin[-1,+infty) em
f^-1(y)=raiz,y+1,
Em notação onde a variável de entrada da inversa é x, escrevemos
f^-1(x)=raiz,x+1,, xin[-1,+infty)

Resposta

f^-1(x)=raizx+1, xin[-1,+infty)

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