Faça a análise da posição relativa entre as retas r e s nos casos abaixo:
r:\left\{\frac{x+2}{2}=\frac{y+6}{3}=\frac{z+3}{4} \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=6-t \y=1+t \z=5+2 t\end{array} \quad t \in \mathbf{R}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede para analisar a posição relativa entre as retas r e s no espaço: ou seja, verificar se são paralelas, coincidentes, concorrentes (intersectantes) ou reversas (espaçadas). Para isso vamos extrair um ponto e um vetor diretor de cada reta, testar se os vetores são colineares e, em caso negativo, tentar encontrar um ponto em comum resolvendo o sistema paramétrico.

Passo 2

Escrevemos cada reta em forma vetorial \mathbf p = \mathbf p_0 + \lambda\,\mathbf v.
Para
r:\frac{x+2}{2}=\frac{y+6}{3}=\frac{z+3}{4},
podemos tomar \lambda=\frac{x+2}{2}=\frac{y+6}{3}=\frac{z+3}{4}. Logo
\mathbf p_r = (-2,-6,-3)+\lambda\,(2,3,4).
Para
s:\begin{cases} x=6-t,\\\ y=1+t,\\\ z=5+2t, \end{cases}\quad t\in\mathbb R,
temos
\mathbf p_s = (6,1,5)+t\,(-1,1,2).

Passo 3

Testamos se os vetores diretores são colineares.
\mathbf v_r=(2,3,4), \quad \mathbf v_s=(-1,1,2).
Se existisse k tal que (2,3,4)=k(-1,1,2), então da primeira componente 2=-k daria k=-2, mas na segunda teríamos 3=k\cdot1=-2, o que é absurdo. Portanto \mathbf v_r e \mathbf v_s não são colineares e as retas não são paralelas nem coincidentes.

Passo 4

Como não são paralelas, podem ser concorrentes ou reversas. Para ver se intersectam, igualamos
(-2,-6,-3)+\lambda(2,3,4) \;=\;(6,1,5)+t(-1,1,2).
Isto gera o sistema em \lambda e t:
\begin{cases} -2 + 2\lambda = 6 - t,\\\\ -6 + 3\lambda = 1 + t,\\\\ -3 + 4\lambda = 5 + 2t. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo as duas primeiras equações:
da primeira t=6-(-2+2\lambda)=8-2\lambda.
Substituindo na segunda:
-6+3\lambda = 1+(8-2\lambda) \;\Longrightarrow\; -6+3\lambda = 9 -2\lambda \;\Longrightarrow\; 5\lambda = 15 \;\Longrightarrow\; \lambda=3.
Então t=8-2\cdot3=2. Verificamos na terceira equação:
-3+4\cdot3 = 9 \quad\text{e}\quad 5+2\cdot2 = 9,
coerente. Logo há interseção.

Passo 6

As retas intersectam-se no ponto obtido por \lambda=3 (ou t=2), que é
(-2,-6,-3)+3\,(2,3,4) = (4,3,9).
Portanto não são reversas nem paralelas, mas sim concorrentes.

Resposta

As retas r e s são concorrentes e se intersectam no ponto (4,3,9).

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