Faça a análise da posição relativa entre as retas r e s nos casos abaixo:
r:\left\{\frac{x+2}{2}=\frac{y+6}{3}=\frac{z+3}{4} \quad s:\left\{\begin{array}{l}x=6-t \y=1+t \z=5+2 t\end{array} \quad t \in \mathbf{R}\right.\right.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a posição relativa entre as retas r e s no espaço: ou seja, verificar se são paralelas, coincidentes, concorrentes (intersectantes) ou reversas (espaçadas). Para isso vamos extrair um ponto e um vetor diretor de cada reta, testar se os vetores são colineares e, em caso negativo, tentar encontrar um ponto em comum resolvendo o sistema paramétrico.
Passo 2
Escrevemos cada reta em forma vetorial \mathbf p = \mathbf p_0 + \lambda\,\mathbf v.
Para
r:\frac{x+2}{2}=\frac{y+6}{3}=\frac{z+3}{4},
podemos tomar \lambda=\frac{x+2}{2}=\frac{y+6}{3}=\frac{z+3}{4}. Logo
Se existisse k tal que (2,3,4)=k(-1,1,2), então da primeira componente 2=-k daria k=-2, mas na segunda teríamos 3=k\cdot1=-2, o que é absurdo. Portanto \mathbf v_r e \mathbf v_s não são colineares e as retas não são paralelas nem coincidentes.
Passo 4
Como não são paralelas, podem ser concorrentes ou reversas. Para ver se intersectam, igualamos