Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada elipse a seguir no ponto indicado.
a) x^2+9 y^2=255 em(9,4) ;

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à elipse
x^2+9y^2=255
no ponto (9,4). Vamos usar derivação implícita para encontrar a inclinação da tangente e, a partir dela, obter também a normal por ser perpendicular.

Passo 2

Derivando ambos os lados de x^2+9y^2=255 em relação a x, temos
2x + 18,y,dydx = 0

Passo 3

Isolando dydx, obtemos
18,y,dydx = -2x Longrightarrow dydx = -2x18y = -x9y
Agora substituímos x=9 e y=4 para achar a inclinação da tangente:
mt = -x9y|(9,4) = -99cdot4 = -14

Passo 4

A reta tangente no ponto (9,4) usa a fórmula ponto-inclinação:
y - 4 = -tfrac14,(x - 9)

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, portanto sua inclinação é o negativo do recíproco de mt, isto é,
mn = 4
Usando ponto-inclinação em (9,4),
y - 4 = 4,(x - 9)

Resposta

Tangent e normal à elipse em (9,4) são, respectivamente:
y - 4 = -tfrac14(x - 9)
y - 4 = 4(x - 9)

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