Represente graficamente o lugar geométrico dos pontos (x, y) do plano cartesiano que satisfazem as condições:
c) y=raiz36-4 x^23.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico dos pontos (x,y) que satisfazem
y = raiz36 - 4x^23
O conteúdo aqui é geometria analítica: vamos identificar domínio, reescrever a expressão e transformar em uma equação implícita para reconhecer a forma cónica.

Passo 2

Reescrevendo a raiz, temos
raiz36 - 4x^2 = 2,raiz9 - x^2,
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y = 2,raiz9 - x^23 = 2,raiz1 - x^29
Dessa forma fica claro que é necessário ter 9 - x^2 >= 0, ou seja
-3 <= x <= 3,
e também y >= 0.

Passo 3

Elevando ambos os lados ao quadrado para obter a forma padrão,
y^2 = 4l(1 - x^29r) ;Longrightarrow; x^29 + y^24 = 1
Essa é a equação de uma elipse centrada em (0,0).

Passo 4

Na forma dfracx^2a^2 + dfracy^2b^2=1 identificamos
a = 3, b = 2
Portanto a curva completa seria uma elipse com semi-eixo horizontal 3 e vertical 2. Porém, pela definição original y=2raiz1-x^2/9, tomamos apenas a parte com y>=0.

Passo 5

Concluímos que o lugar geométrico é a metade superior da elipse de semi-eixos a=3 e b=2, isto é, o arco que vai de (-3,0) até (3,0) passando por (0,2).

Resposta

O gráfico é a semi-elipse superior centrada na origem com semi-eixo horizontal 3 e semi-eixo vertical 2, definida por
x^29 + y^24 = 1, y >= 0, -3 <= x <= 3

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