Seja R a região plana delimitada pelas curvas y^2-x^2=16 e y=5.
c) Qual é a técnica de integração que você usaria para resolver esta integral?

Passo 1

O enunciado fala de uma integral dupla sobre a região R limitada pela hipérbole
y^2-x^2=16
e pela reta horizontal
y=5
Para montar a integral em coordenadas cartesianas teríamos algo como
integral duplaR f(x,y),dx,dy =integraly=ymin^y=5l[integralx=-raizy^2-16^x=+raizy^2-16f(x,y),dxr]dy,
mas os limites em x dependem de y, o que torna a integral pesada.

Passo 2

Uma forma mais elegante é usar mudança de variáveis que “linearize” a curva
Nesse caso a hipérbole vira a reta , transformando num retângulo . Alternativamente, pode-se usar coordenadas hiperbólicas
para parametrizar diretamente por . Em ambas as opções o Jacobiano torna os limites fixos e facilita muito o cálculo.

Resposta

Eu usaria mudança de variáveis do tipo
u = y^2-x^2, v = y
ou, equivalentemente, coordenadas hiperbólicas x=4sinh t,;y=4cosh t.

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