Um ponto se move sobre a hipérbole 4 x^2-9 y^2=27 de tal modo que sua abscissa cresce numa razão constante de 8 unidades por segundo. Com que rapidez varia a sua ordenada no ponto (3,1) ?

Passo 1

O enunciado dá a hipérbole
4x^2-9y^2=27
e diz que dxdt=8 unidades/s. Pede a taxa dydt no ponto (3,1). Vamos usar diferenciação implícita em relação a t.

Passo 2

Diferenciando
4x^2-9y^2=27
em relação a t obtemos
ddt(4x^2)-ddt(9y^2)=ddt(27)
ou seja
8x,dxdt-18y,dydt=0

Passo 3

Isolando dydt,
8x,dxdt=18y,dydt Longrightarrow dydt =8x18y,dxdt
No ponto (x,y)=(3,1) e com dxdt=8:
dydt =8cdot318cdot1cdot8 =2418cdot8 =43cdot8 =323

Resposta

dydt=323 unidades por segundo.

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