Determine o lugar geométrico de um ponto
que se move no plano cartesiano de tal modo que o quadrado de sua distância à origem é igual ao dobro de sua distância ao eixo das ordenadas.
Passo 1
O enunciado pede o lugar geométrico de um ponto
cuja condição é “o quadrado da distância de
à origem é igual ao dobro da distância de
ao eixo das ordenadas”. Vamos usar definições de distância no plano cartesiano para montar a equação do locus.
Passo 2
A distância de
à origem é
logo o quadrado dessa distância é
A distância de
ao eixo das ordenadas (reta
) é
A condição do enunciado se traduz em
Passo 3
Para resolver
separamos em dois casos:
Caso
. Então
e a equação vira
Isto é a circunferência de centro
e raio
, que de fato está toda no semiplano
.
Passo 4
Caso
. Então
e a equação se torna
Aqui obtemos a circunferência de centro
e raio
, inteiramente no semiplano
.
Passo 5
Juntando ambos os casos, o lugar geométrico é a união de duas circunferências de raio
, centradas em
e em
.
Resposta
São as duas circunferências de raio
com centros em
e
, dadas pelas equações
e