Determine o lugar geométrico de um ponto P que se move no plano cartesiano de tal modo que o quadrado de sua distância à origem é igual ao dobro de sua distância ao eixo das ordenadas.

Passo 1

O enunciado pede o lugar geométrico de um ponto P=(x,y) cuja condição é “o quadrado da distância de P à origem é igual ao dobro da distância de P ao eixo das ordenadas”. Vamos usar definições de distância no plano cartesiano para montar a equação do locus.

Passo 2

A distância de P à origem é
dO = raizx^2 + y^2,
logo o quadrado dessa distância é
dO^2 = x^2 + y^2
A distância de P ao eixo das ordenadas (reta x=0) é
dy = |x|
A condição do enunciado se traduz em
x^2 + y^2 = 2,|x|

Passo 3

Para resolver
x^2 + y^2 = 2,|x|
separamos em dois casos:
Caso x >= 0. Então |x| = x e a equação vira
x^2 + y^2 = 2x Longrightarrow x^2 - 2x + y^2 = 0 Long<=ftrightarrow (x-1)^2 + y^2 = 1
Isto é a circunferência de centro (1,0) e raio 1, que de fato está toda no semiplano x>=0.

Passo 4

Caso x <= 0. Então |x| = -x e a equação se torna
x^2 + y^2 = -2x Longrightarrow x^2 + 2x + y^2 = 0 Long<=ftrightarrow (x+1)^2 + y^2 = 1
Aqui obtemos a circunferência de centro (-1,0) e raio 1, inteiramente no semiplano x<=0.

Passo 5

Juntando ambos os casos, o lugar geométrico é a união de duas circunferências de raio 1, centradas em (1,0) e em (-1,0).

Resposta

São as duas circunferências de raio 1 com centros em (1,0) e (-1,0), dadas pelas equações
(x-1)^2 + y^2 = 1
e
(x+1)^2 + y^2 = 1

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