Determine as equações da reta tangente e da reta normal a cada hipérbole a seguir, no ponto indicado.
b) x^2-4 x-y^2-2 y=0 em(0,0).

Passo 1

O enunciado pede as equações da reta tangente e da reta normal à hipérbole dada por
x^2-4x-y^2-2y=0
no ponto (0,0). O conteúdo aqui é derivação implícita: vamos usar a função
F(x,y)=x^2-4x-y^2-2y
e aplicar dydx=-FxFy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais de F:
Fx = partialpartial x(x^2-4x-y^2-2y) = 2x-4,
Fy = partialpartial y(x^2-4x-y^2-2y) = -2y-2
Logo, pela derivação implícita,
dydx=-FxFy =-2x-4-2y-2 =2x-42y+2 =x-2y+1

Passo 3

Para obter a inclinação da tangente em (0,0), basta substituir x=0 e y=0:
mtang = dydx|(0,0) =0-20+1=-2

Passo 4

A reta tangente com coeficiente angular mtang=-2 passando por (0,0) tem equação
y = -2x

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é o negativo do inverso de -2, ou seja,
mnorm = 12
Passando por (0,0), sua equação é
y = tfrac12 x

Resposta

Reta tangente: y = -2x
Reta normal: y = tfrac12 x

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