Indique a integral que calcula o volume do sólido, respectivamente, obtido pela rotação da região limitada pelas curvas:
b) y=-x^2+1, y=x+1 ao redor do eixo x.

Passo 1

Estamos lidando com o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x da região limitada pelas curvas
y = -x^2 + 1 e y = x + 1
O método adequado aqui é o dos discos/de anéis (washers), em que subtraímos o volume gerado pelo “buraco” interno do volume gerado pela “casca” externa.

Passo 2

Precisamos descobrir os pontos de interseção das duas curvas para determinar os limites de integração. Igualamos
-x^2 + 1 = x + 1
que dá
-x^2 - x = 0 Longrightarrow x(x + 1) = 0 Longrightarrow x = -1, 0
Logo, a região está entre x=-1 e x=0.

Passo 3

Para cada xin[-1,0], a curva superior (mais distante do eixo x) é
yexterno = -x^2 + 1,
e a curva inferior (mais próxima do eixo x) é
yinterno = x + 1
Na rotação em torno de x, isso gera anéis de raio externo R(x)= -x^2+1 e raio interno r(x)= x+1.

Passo 4

Aplicando a fórmula do volume por anéis,
V = integralx=-1^0 pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx = pi integral-1^0 l[(-x^2+1)^2 - (x+1)^2r],dx

Resposta

V = pi integral-1^0 l[(-x^2+1)^2 - (x+1)^2r],dx

Exercícios relacionados