Determine se as funções T: R^3 R^3 são lineares. Se forem lineares, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
T(x, y, z)=(x+z, 0, x+y)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a aplicação T: R^3to R^3 definida por
T(x,y,z)=(x+z,,0,,x+y)
O conteúdo da matéria é transformação linear, núcleo e imagem. Vamos verificar se T é linear e, em caso afirmativo, determinar ker T, dim(ker T), Im T e dim(Im T).

Passo 2

Verificação de linearidade: sejam (x1,y1,z1) e (x2,y2,z2) em R^3 e lambdain R. Então
T((x1,y1,z1)+(x2,y2,z2))=T(x1+x2,,y1+y2,,z1+z2)
=(x1+x2+z1+z2,,0,,x1+x2+y1+y2)
= (x1+z1,0,x1+y1) + (x2+z2,0,x2+y2) = T(x1,y1,z1) + T(x2,y2,z2),
e
T(lambda(x,y,z))=T(lambda x,lambda y,lambda z)=(lambda x+lambda z,0,lambda x+lambda y) =lambda,T(x,y,z)
Logo, T é linear.

Passo 3

Cálculo do núcleo: resolvemos
Daí e , então

Passo 4

Dimensão do núcleo: como ker T é gerado por um único vetor, temos
dim(ker T)=1

Passo 5

Cálculo da imagem: avaliamos na base canônica:
Observando que
vemos que

Passo 6

Dimensão da imagem: como há dois vetores independentes em Im T,
dim(Im T)=2

Resposta

é linear.
, .
, .

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