Determine se as funções
são lineares. Se forem lineares, determine seu núcleo, a dimensão do núcleo, sua imagem e a dimensão da imagem.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a aplicação
definida por
O conteúdo da matéria é transformação linear, núcleo e imagem. Vamos verificar se
é linear e, em caso afirmativo, determinar
,
,
e
.
Passo 2
Verificação de linearidade: sejam
e
em
e
. Então
e
Logo,
é linear.
Passo 3
Cálculo do núcleo: resolvemos
Daí
e
, então
Passo 4
Dimensão do núcleo: como
é gerado por um único vetor, temos
Passo 5
Cálculo da imagem: avaliamos
na base canônica:
Observando que
vemos que
Passo 6
Dimensão da imagem: como há dois vetores independentes em
,
Resposta
,