Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere \log (|y|) quando for o caso.
e^{t+y} y^{\prime}=e^{2 t-y}.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
e^{t+y}\,y' = e^{2t-y},
que é de primeira ordem e separável. O objetivo é escrever em forma \displaystyle g(y)\,dy = h(t)\,dt, integrar ambos os lados e obter a solução geral.

Passo 2

Isolamos y' dividindo por e^{t+y}, que nunca anula (pois é exponencial):
y' = \frac{dy}{dt} = \frac{e^{2t-y}}{e^{t+y}} = e^{2t -y -t -y} = e^{t - 2y}.
Assim chegamos à forma separável
\frac{dy}{dt} = e^t\,e^{-2y}.

Passo 3

Reorganizamos para separar as variáveis y e t:
e^{2y}\,dy = e^t\,dt.
Aqui não há divisão por zero ou logaritmos ainda, pois e^{2y}>0 para todo y.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
\int e^{2y}\,dy = \int e^t\,dt.
O resultado das integrais é
\frac{e^{2y}}{2} = e^t + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Resolvemos para y. Primeiro multiplicamos por 2 e escrevemos K=2C:
e^{2y} = 2\,e^t + K.
Como e^{2y}>0, exigimos 2\,e^t + K>0. Tomando logaritmo natural,
2y = \ln\bigl(2\,e^t + K\bigr) \quad\Longrightarrow\quad y(t) = \frac{1}{2}\,\ln\bigl(2\,e^t + K\bigr).

Resposta

y(t) = \frac{1}{2}\,\ln\bigl(2\,e^t + K\bigr),
com K constante arbitrária e domínio dado por 2\,e^t + K>0.

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