Use a técnica da separação de variáveis para resolver as seguintes equações e/ou P.V.I.:
Observação: Ao resolver as equações separáveis, tome cuidado com indefinições das funções que aparecem na integração, por exemplo ao dividir por uma função que possa se
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere
quando for o caso.
.
anular. Separe esses casos e analise separadamente. Lembrem que a função logaritmo não está definida para números negativos, considere
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que é de primeira ordem e separável. O objetivo é escrever em forma
, integrar ambos os lados e obter a solução geral.
Passo 2
Isolamos
dividindo por
, que nunca anula (pois é exponencial):
Assim chegamos à forma separável
Passo 3
Reorganizamos para separar as variáveis
e
:
Aqui não há divisão por zero ou logaritmos ainda, pois
para todo
.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
O resultado das integrais é
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Resolvemos para
. Primeiro multiplicamos por 2 e escrevemos
:
Como
, exigimos
. Tomando logaritmo natural,
Resposta
com
constante arbitrária e domínio dado por
.