Determine as equações das retas t e n, respectivamente tangente e normal à curva y=x^2, no ponto de abcissa p.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações das retas tangente ( t) e normal ( n) à curva y = x^2 no ponto onde a abcissa é p. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas e, em seguida, aplicar a fórmula da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva onde vamos calcular as retas. Sabemos que a abcissa é p, então substituímos na equação da curva:
y = p^2
Portanto, o ponto de interesse é (p, p^2).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada de y em relação a x:
dydx = 2x
A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto x.

Passo 4

Substituímos x por p na derivada para obter a inclinação da reta tangente no ponto (p, p^2):
mt = 2p

Passo 5

Com a inclinação mt e o ponto (p, p^2), podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
y - y1 = mt(x - x1)
Substituindo os valores:
y - p^2 = 2p(x - p)

Passo 6

Simplificando a equação da reta tangente:
y = 2p x - 2p^2 + p^2
y = 2p x - p^2

Passo 7

Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação mn é o negativo do inverso de mt:
mn = -1mt = -12p

Passo 8

Com a inclinação mn e o mesmo ponto (p, p^2), escrevemos a equação da reta normal:
y - p^2 = -12p(x - p)

Resposta

As equações das retas são:
t: y = 2p,x - p^2
n: y = -12p,x + p2

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