Determine as equações das retas
e
, respectivamente tangente e normal à curva
, no ponto de abcissa
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações das retas tangente (
) e normal (
) à curva
no ponto onde a abcissa é
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar as inclinações das retas e, em seguida, aplicar a fórmula da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas do ponto na curva onde vamos calcular as retas. Sabemos que a abcissa é
, então substituímos na equação da curva:
Portanto, o ponto de interesse é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente à curva nesse ponto. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
:
A derivada nos dá a inclinação da curva em qualquer ponto
.
Passo 4
Substituímos
por
na derivada para obter a inclinação da reta tangente no ponto
:
Passo 5
Com a inclinação
e o ponto
, podemos escrever a equação da reta tangente usando a fórmula da reta:
Substituindo os valores:
Passo 6
Simplificando a equação da reta tangente:
Passo 7
Agora, vamos encontrar a inclinação da reta normal. A reta normal é perpendicular à reta tangente, então sua inclinação
é o negativo do inverso de
:
Passo 8
Com a inclinação
e o mesmo ponto
, escrevemos a equação da reta normal:
Resposta
As equações das retas são: