Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
sumn=1^infty 1(raiz2)^n

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos a série
sumn=1^infty1(raiz2)^n
cujos termos são todos positivos, e queremos usar o teste da comparação. Vamos precisar do fato de que, se (an) e (bn) são sequências não negativas com an<= bn para todo n e sum bn converge, então sum an também converge.

Passo 2

Para aplicar a comparação, escolhemos uma série geométrica de razão menor que 1. Observamos que
1raiz2<34,
e, elevando ambos os lados a n>=1, obtemos
1(raiz2)^n<l(34r)^n

Passo 3

A série geométrica
sumn=1^inftyl(34r)^n
converge porque sua razão tfrac34 satisfaz lverttfrac34rvert<1. Como
,0<=1(raiz2)^n<l(tfrac34r)^n
e a série à direita converge, pelo teste da comparação concluímos que
sumn=1^infty1(raiz2)^n
também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty1(raiz2)^n converge pelo teste da comparação.

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