Utilize o teste da comparação para dizer se as seguintes séries convergem ou divergem.
Passo 1
Resumindo o enunciado: temos a série
cujos termos são todos positivos, e queremos usar o teste da comparação. Vamos precisar do fato de que, se e
são sequências não negativas com
para todo
e
converge, então
também converge.
cujos termos são todos positivos, e queremos usar o teste da comparação. Vamos precisar do fato de que, se
Passo 2
Para aplicar a comparação, escolhemos uma série geométrica de razão menor que 1. Observamos que
e, elevando ambos os lados a
, obtemos
Passo 3
A série geométrica
converge porque sua razão
satisfaz
. Como
e a série à direita converge, pelo teste da comparação concluímos que
também converge.
e a série à direita converge, pelo teste da comparação concluímos que
também converge.
Resposta
A série
converge pelo teste da comparação.