Utilize os testes da razão ou da raíz para determinar a convergência absoluta ou divergência das séries.
sumn=1^infty (-2)^nn^2

Passo 1

O enunciado pede para usarmos o teste da razão ou da raíz e decidir se a série
sumn=1^infty (-2)^nn^2
converge absolutamente ou diverge. Para isso, vamos aplicar o teste da razão, que diz que, se
L = limntoinfty |an+1an|,
então
  • se L<1 a série sum an converge absolutamente;
  • se L>1 a série diverge;
  • se L=1 o teste é inconclusivo.

Passo 2

Aqui an = (-2)^nn^2. Então
|an+1an| = l|(-2)^,n+1/(n+1)^2r|l|(-2)^n/n^2r| = 2^,n+1(n+1)^2,n^22^n =2,n^2(n+1)^2
Tomando o limite,
L = limntoinfty2,n^2(n+1)^2 =2;limntoinftyn^2(n+1)^2 =2cdot1 =2

Passo 3

Como L=2>1, o teste da razão garante que a série
sumn=1^infty gl|(-2)^nn^2gr|
diverge. Logo não há convergência absoluta. Além disso, os termos não tendem a zero em módulo (crescem como 2^n/ n^2), de modo que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge (não converge absolutamente).

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