Determine as equações das retas tangente e normal à curva de equação x^3+y^3-x y-7=0, no ponto (1, 2).

Passo 1

O enunciado dá a curva implícita
x^3 + y^3 - x,y - 7 = 0
e pede as retas tangente e normal no ponto (1,2). Vamos usar derivação implícita para obter y' e daí os coeficientes angulares.

Passo 2

Derivando ambos os lados em relação a x:
ddx(x^3) + ddx(y^3) - ddx(x,y) - ddx(7) = 0
Isso dá
3x^2 + 3y^2,y' -l(y + x,y'r) = 0
Agrupando termos em y':
3y^2,y' - x,y' + 3x^2 - y = 0 Longrightarrow y',(3y^2 - x) = y - 3x^2
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y' = y - 3x^23y^2 - x

Passo 3

No ponto (1,2) substituímos x=1 e y=2:
y'(1,2) = 2 - 3cdot1^23cdot2^2 - 1 = 2 - 312 - 1 = -111
Esse é o coeficiente angular da reta tangente.

Passo 4

A reta tangente no ponto (1,2) com coeficiente -tfrac111 é
y - 2 = -111,(x - 1)

Passo 5

A reta normal é perpendicular à tangente, logo seu coeficiente angular é o negativo do recíproco de -tfrac111, ou seja 11. Assim
y - 2 = 11,(x - 1)

Resposta

Reta tangente:
y - 2 = -111(x - 1)
Reta normal:
y - 2 = 11(x - 1)

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