Obtenha d yd x se y é definida implicitamente como função de x através da equação:
x^2 y+x y^2-2 x^3 y^2=xy

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dydx quando y=y(x) está definida implicitamente pela equação
x^2y + x y^2 - 2x^3y^2 = xy
O conteúdo envolvido é diferenciação implícita, usando regra do produto e regra do quociente.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
x^2y + x y^2 - 2x^3y^2 = xy
em relação a x, lembrando que y=y(x) e que dydx será denotado por y'. Usando regra do produto e do quociente, obtemos:
ddx(x^2y)=2xy + x^2y',
ddx(x y^2)=y^2 + 2xy,y',
ddx(-2x^3y^2)=-6x^2y^2 - 4x^3y,y',
ddx!l(tfracxyr)=1y ;-;xy^2,y'

Passo 3

Somando as derivadas e igualando a zero, ficamos com
2xy + x^2y' + y^2 + 2xy,y' - 6x^2y^2 - 4x^3y,y' = 1y - xy^2,y'

Passo 4

Agrupamos os termos que contêm y' de um lado e os demais do outro:
x^2y' + 2xy,y' - 4x^3y,y' + xy^2,y' = 1y - 2xy - y^2 + 6x^2y^2
Fatorando y',
y'l(x^2 + 2xy - 4x^3y + tfracxy^2r) = 1y - 2xy - y^2 + 6x^2y^2

Passo 5

Isolando y'=dydx, obtemos
dydx = 1y - 2xy - y^2 + 6x^2y^2 x^2 + 2xy - 4x^3y + xy^2

Resposta

dydx = 1y - 2xy - y^2 + 6x^2y^2 x^2 + 2xy - 4x^3y + tfracxy^2

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