Determine as equações das retas tangente e normal à curva y=(x^2-1)^2 em x=2

Passo 1

A questão dá a curva y=(x^2-1)^2 e pede as retas tangente e normal no ponto com x=2. O conteúdo é derivação de funções polinomiais e equação de retas. Para resolver, precisamos calcular y(2), a derivada y'(x), seu valor em x=2, e então usar as fórmulas das retas.

Passo 2

Calculamos a coordenada y no ponto x=2:
y(2)=(2^2-1)^2=9
Assim, o ponto de tangência é (2,9).

Passo 3

Para achar a inclinação, derivamos y. Aplicando a regra da cadeia, temos:
y'=2(x^2-1)cdotddx(x^2-1)=2(x^2-1)cdot2x=4x(x^2-1)

Passo 4

Avaliaremos y'(x) em x=2:
y'(2)=4cdot2cdot(2^2-1)=4cdot2cdot3=24
Então, a inclinação da reta tangente é 24.

Passo 5

A equação da reta tangente, usando ponto (2,9) e inclinação m=24, é dada por:
y-9=24(x-2)
Simplificando, obtemos
y=24x-39

Passo 6

A reta normal é perpendicular à tangente, então sua inclinação é -1/24. Usando o mesmo ponto, a equação é:
y-9=-tfrac124(x-2)
Simplificando, resulta
y=-tfrac124x+10912

Resposta

Reta tangente: y=24x-39. Reta normal: y=-tfrac124x+10912.

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