O valor médio de uma função contínua f(x, y) em uma região R do plano xy é definido como
fm=1A(R) integral duplaR f(x, y) d A
onde A(R) é a área da região R (comparar com a definição anterior ao Exercício 35 da Seção 14.1). Use essa definição nestes exercícios.
Calcule o valor médio de 1 /(1+x^2) na região triangular de vértices (0,0),(1,1) e (0,1).

Passo 1

O enunciado pede o valor médio de f(x,y)=11+x^2 na região triangular R de vértices (0,0), (1,1) e (0,1). O conteúdo é valor médio de função de duas variáveis, definido por
f m ;=;1A(R)integral duplaRf(x,y),dA

Passo 2

Vamos achar a área de R. Como R é um triângulo de base igual a 1 e altura igual a 1,
A(R);=;1cdot12;=;12

Passo 3

Para montar o integral, note que
R=(x,y)mid 0<= x<= y<=1
Então
integral duplaR11+x^2,dA =integraly=0^1!integralx=0^y11+x^2,dx,dy,
e
f m =2integraly=0^1!integralx=0^y11+x^2,dx,dy

Passo 4

Vamos trocar a ordem de integração. Para cada xin[0,1], y varia de x a 1. Assim
integral duplaR11+x^2,dA =integralx=0^111+x^2l(integraly=x^1dyr),dx =integral0^11-x1+x^2,dx
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f m =2integral0^11-x1+x^2,dx

Passo 5

Calcule o integral unidimensional:
integral1-x1+x^2,dx =integral11+x^2,dx -integralx1+x^2,dx =arctan x-12lnl(1+x^2r)
Avaliando de 0 a 1:
integral0^11-x1+x^2,dx =l[arctan x-tfrac12ln(1+x^2)r]0^1 =pi4-12ln2
Multiplicando por 2 resulta
f m =2l(pi4-12ln2r) =pi2-ln2

Resposta

f m=pi2-ln2

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