Determine as equações para as seguintes retas e faça o esboço do gráfico identificando os interceptos com os eixos coordenados:
Passa pelos pontos
e
.
Passa pelos pontos
Passo 1
O enunciado dá uma reta que passa pelos pontos
e
e pede duas coisas:
- Determinar a(s) equação(ões) da reta.
- Fazer um esboço do gráfico identificando os interceptos com os eixos coordenados.
Informações relevantes fornecidas:
- Um ponto é
. - Outro ponto é
. - Precisa-se encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos e os pontos de interseção com os eixos
e .
Passo 2
Primeiro passo matemático: calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta, chamada de
. A fórmula para a inclinação entre dois pontos
e
é
Explicando a fórmula: ela mede quanto a coordenada
muda quando a coordenada
aumenta de 1 unidade na direção da reta. No numerador está a diferença das ordenadas e no denominador a diferença das abscissas.
Passo 3
Aplicando a fórmula com os números que temos:
Portanto a reta tem inclinação
. Interpretação prática: quando
aumenta em
,
diminui em
.
Passo 4
Agora uso a forma ponto-inclinação da equação da reta. A fórmula é
onde
é um ponto conhecido da reta e
é a inclinação. Essa forma é prática na prova porque basta um ponto e a inclinação para obter a equação.
Passo 5
Escolho o ponto
para aplicar a fórmula. Substituindo
,
,
:
Agora desenvolvo essa igualdade para obter a forma mais comum
(forma reduzida, onde
é a inclinação e
é o coeficiente linear, ou intercepto em
).
Passo a passo da álgebra:
somando
em ambos os lados (observe que
):
Portanto a forma reduzida da equação é
Passo 6
Também é útil escrever a equação na forma geral
, multiplicando ambos os lados por
para eliminar frações:
Explicação rápida das formas:
- Forma reduzida
mostra diretamente a inclinação e o intercepto em que é . - Forma geral
é útil para alguns cálculos algébricos e para obter interceptos com facilidade.
Passo 7
Agora encontro os interceptos com os eixos coordenados.
Intercepto em
(onde a reta corta o eixo
): ocorre em
. Substituo
em
:
Como decimal com vírgula:
. Logo o intercepto em
é o ponto
.
Intercepto em
(onde a reta corta o eixo
): ocorre em
. Substituo
em
e resolvo para
:
Logo o intercepto em
é o ponto
.
Passo 8
Cheque rápido (confirmação): verificar que os pontos dados pertencem à reta.
- Para
: . OK. - Para
: . OK.
Passo 9
Esboço do gráfico (descrição para desenhar na prova):
- Desenhe dois eixos perpendiculares, marque o ponto
no eixo (aprox. ). - Marque o ponto
no eixo . - Trace a reta que une esses dois interceptos; ela terá inclinação negativa e também passa pelos pontos
e que ficam entre os interceptos.
Dica prática: para desenhar rápido, do pontová uma unidade para a direita ( em ) e uma meia-unidade para baixo ( em ) para marcar outro ponto da reta — isso usa a inclinação .
Resposta
Intercepto em
:
Intercepto em :
Intercepto em