Determine as equações para as seguintes retas e faça o esboço do gráfico identificando os interceptos com os eixos coordenados:
Passa pelos pontos (5,4) e (7,3).

Passo 1

O enunciado dá uma reta que passa pelos pontos (5,4) e (7,3) e pede duas coisas:
  • Determinar a(s) equação(ões) da reta.
  • Fazer um esboço do gráfico identificando os interceptos com os eixos coordenados.
Informações relevantes fornecidas:
  • Um ponto é (x_1,y_1)=(5,4).
  • Outro ponto é (x_2,y_2)=(7,3).
  • Precisa-se encontrar a equação da reta que passa por esses dois pontos e os pontos de interseção com os eixos x e y.

Passo 2

Primeiro passo matemático: calcular a inclinação (coeficiente angular) da reta, chamada de m. A fórmula para a inclinação entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) é
m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Explicando a fórmula: ela mede quanto a coordenada y muda quando a coordenada x aumenta de 1 unidade na direção da reta. No numerador está a diferença das ordenadas e no denominador a diferença das abscissas.

Passo 3

Aplicando a fórmula com os números que temos:
m=\frac{3-4}{7-5}=\frac{-1}{2}=-\tfrac{1}{2}.
Portanto a reta tem inclinação m=-\tfrac{1}{2}. Interpretação prática: quando x aumenta em 1, y diminui em \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora uso a forma ponto-inclinação da equação da reta. A fórmula é
y-y_1=m(x-x_1),
onde (x_1,y_1) é um ponto conhecido da reta e m é a inclinação. Essa forma é prática na prova porque basta um ponto e a inclinação para obter a equação.

Passo 5

Escolho o ponto (5,4) para aplicar a fórmula. Substituindo m=-\tfrac{1}{2}, x_1=5, y_1=4:
y-4=-\tfrac{1}{2}(x-5).
Agora desenvolvo essa igualdade para obter a forma mais comum y=mx+b (forma reduzida, onde m é a inclinação e b é o coeficiente linear, ou intercepto em y).
Passo a passo da álgebra:
y-4=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{2},
somando 4 em ambos os lados (observe que 4=\tfrac{8}{2}):
y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{5}{2}+\tfrac{8}{2}=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{13}{2}.
Portanto a forma reduzida da equação é
y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{13}{2}.

Passo 6

Também é útil escrever a equação na forma geral Ax+By+C=0, multiplicando ambos os lados por 2 para eliminar frações:
2y=-x+13 \quad\Rightarrow\quad x+2y-13=0.
Explicação rápida das formas:
  • Forma reduzida y=mx+b mostra diretamente a inclinação m e o intercepto em y que é b.
  • Forma geral Ax+By+C=0 é útil para alguns cálculos algébricos e para obter interceptos com facilidade.

Passo 7

Agora encontro os interceptos com os eixos coordenados.
Intercepto em y (onde a reta corta o eixo y): ocorre em x=0. Substituo x=0 em y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{13}{2}:
y=-\tfrac{1}{2}\cdot 0+\tfrac{13}{2}=\tfrac{13}{2}.
Como decimal com vírgula: \tfrac{13}{2}=6,5. Logo o intercepto em y é o ponto \bigl(0,\tfrac{13}{2}\bigr)=(0,6,5).
Intercepto em x (onde a reta corta o eixo x): ocorre em y=0. Substituo y=0 em y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{13}{2} e resolvo para x:
0=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{13}{2}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{2}x=-\tfrac{13}{2}\quad\Rightarrow\quad x=13.
Logo o intercepto em x é o ponto (13,0).

Passo 8

Cheque rápido (confirmação): verificar que os pontos dados pertencem à reta.
  • Para x=5: y=-\tfrac{1}{2}\cdot5+\tfrac{13}{2}=-\tfrac{5}{2}+\tfrac{13}{2}=\tfrac{8}{2}=4. OK.
  • Para x=7: y=-\tfrac{1}{2}\cdot7+\tfrac{13}{2}=-\tfrac{7}{2}+\tfrac{13}{2}=\tfrac{6}{2}=3. OK.

Passo 9

Esboço do gráfico (descrição para desenhar na prova):
  • Desenhe dois eixos perpendiculares, marque o ponto (0,\tfrac{13}{2}) no eixo y (aprox. y=6,5).
  • Marque o ponto (13,0) no eixo x.
  • Trace a reta que une esses dois interceptos; ela terá inclinação negativa e também passa pelos pontos (5,4) e (7,3) que ficam entre os interceptos.
    Dica prática: para desenhar rápido, do ponto (5,4) vá uma unidade para a direita ( +1 em x) e uma meia-unidade para baixo ( -\tfrac{1}{2} em y) para marcar outro ponto da reta — isso usa a inclinação m=-\tfrac{1}{2}.

Resposta

y=-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{13}{2}
x+2y-13=0
Intercepto em x: (13,0)
Intercepto em y: \bigl(0,\tfrac{13}{2}\bigr)

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