Determine a taxa de variação d y / d x para o valor especificado de x_{0}.
y=x+\frac{3}{2-4 x} ; x_{0}=0

Passo 1

O enunciado dá a função
y = x + \frac{3}{2-4x}
e pede a taxa de variação \dfrac{dy}{dx} para o ponto x_{0}=0.
Informações relevantes:
  • A função é composta por duas parcelas: a parcela linear x e a parcela racional \dfrac{3}{2-4x}.
  • É preciso calcular a derivada geral \dfrac{dy}{dx} e então avaliá-la em x=0.

Passo 2

Vamos reescrever a parcela racional de forma que a diferenciação fique direta usando a regra do poder e a regra da cadeia. Escreve-se
\frac{3}{2-4x}=3\,(2-4x)^{-1}.
Explicando as regras que vou usar (passo-a-passo, como num aulinha rápida):
  • Regra do poder: se h(x) = [g(x)]^{n}, então
h'(x) = n\,[g(x)]^{\,n-1}\cdot g'(x).
Aqui n=-1 e g(x)=2-4x.
  • Derivada de uma soma: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, derivo x e derivo 3(2-4x)^{-1} separadamente.
  • Derivada de x é 1.
Um exemplo rápido para fixar: a derivada de (ax+b)^{-1} é -a(ax+b)^{-2}. Isso segue direto aplicando o esquema acima com n=-1 e g'(x)=a.

Passo 3

Agora aplico as regras concretamente.
Derivada da primeira parcela:
\frac{d}{dx}(x)=1.
Para a segunda parcela, seja u(x)=2-4x. Então a parcela é 3\,u^{-1}. Aplicando a regra do poder e a regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\big(3\,u^{-1}\big)=3\cdot(-1)\,u^{-2}\cdot u'(x).
Como u'(x)=\frac{d}{dx}(2-4x)=-4, temos
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2-4x}\right)=3\cdot(-1)\,u^{-2}\cdot(-4)=3\cdot 4\,u^{-2}=12\,u^{-2}.
Voltando a u=2-4x, isso dá
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2-4x}\right)=\frac{12}{(2-4x)^{2}}.
Somando as duas parcelas, a derivada geral é
\frac{dy}{dx}=1+\frac{12}{(2-4x)^{2}}.

Passo 4

Agora avalio em x_{0}=0. Primeiro calcule o denominador:
(2-4\cdot 0)^{2}=(2)^{2}=4.
Substituindo na expressão da derivada:
\frac{dy}{dx}\Bigg|_{x=0}=1+\frac{12}{4}=1+3=4.

Passo 5

Resumo prático que ajuda na prova: para funções do tipo x + \dfrac{C}{a+bx}, uma forma rápida é reescrever como x + C(a+bx)^{-1} e aplicar a regra do poder com regra da cadeia; aqui o resultado será sempre 1 + \dfrac{C\cdot b^{2}}{(a+bx)^{2}} com sinais conforme b. No nosso caso deu 4. Força aí — deu certo!

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}\Bigg|_{x=0}=4

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