Determine a taxa de variação d y / d x para o valor especificado de x_{0}. y=\left(x^{2}+3\right)\left(5-2 x^{3}\right) ; x_{0}=1
Passo 1
O enunciado fornece:
A função \;y=\left(x^{2}+3\right)\left(5-2x^{3}\right)\;.
O ponto onde queremos a taxa de variação: \;x_{0}=1\;.
O que é pedido:
Determinar \dfrac{dy}{dx} no ponto \;x=1\;, ou seja calcular \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=1}.
Passo 2
Vamos diferenciar a função. Quando uma função é produto de duas funções de x, usa-se a regra do produto. Vou apresentar a regra com calma:
Se \;y=u(x)\,v(x)\;, então a derivada é dada por
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x. A ideia é: a taxa total é a soma da contribuição quando varia a primeira função mantendo a segunda fixa, mais a contribuição quando varia a segunda mantendo a primeira fixa.
Passo 3
Identificamos as duas funções que formam o produto:
u(x)=x^{2}+3,\qquad v(x)=5-2x^{3}.
Agora precisamos das derivadas u'(x) e v'(x).
Passo 4
Derivando u(x)=x^{2}+3:
A regra do poder: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}.
Para -2x^{3}, usar a regra do poder e a constante multiplicativa: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, então \dfrac{d}{dx}(-2x^{3})=-2\cdot 3x^{2}=-6x^{2}.
Portanto
v'(x)=0-6x^{2}=-6x^{2}.
Passo 6
Aplicando a regra do produto \;y' = u'v + uv'\; com os u,u',v,v' que encontramos:
y'=(2x)\,(5-2x^{3})+(x^{2}+3)\,(-6x^{2}).
Agora simplifico termo a termo. Primeiro multiplicando: