Determine a taxa de variação d y / d x para o valor especificado de x_{0}.
y=\left(x^{2}+3\right)\left(5-2 x^{3}\right) ; x_{0}=1

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A função \;y=\left(x^{2}+3\right)\left(5-2x^{3}\right)\;.
  • O ponto onde queremos a taxa de variação: \;x_{0}=1\;.
    O que é pedido:
  • Determinar \dfrac{dy}{dx} no ponto \;x=1\;, ou seja calcular \left.\dfrac{dy}{dx}\right|_{x=1}.

Passo 2

Vamos diferenciar a função. Quando uma função é produto de duas funções de x, usa-se a regra do produto. Vou apresentar a regra com calma:
  • Se \;y=u(x)\,v(x)\;, então a derivada é dada por
y' = u'(x)\,v(x) + u(x)\,v'(x).
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x e v'(x) é a derivada de v em relação a x. A ideia é: a taxa total é a soma da contribuição quando varia a primeira função mantendo a segunda fixa, mais a contribuição quando varia a segunda mantendo a primeira fixa.

Passo 3

Identificamos as duas funções que formam o produto:
u(x)=x^{2}+3,\qquad v(x)=5-2x^{3}.
Agora precisamos das derivadas u'(x) e v'(x).

Passo 4

Derivando u(x)=x^{2}+3:
  • A regra do poder: se f(x)=x^{n} então f'(x)=n x^{n-1}.
  • A derivada de constante é zero.
    Aplicando:
u'(x)=\frac{d}{dx}\left(x^{2}\right)+\frac{d}{dx}(3)=2x+0=2x.

Passo 5

Derivando v(x)=5-2x^{3}:
  • A derivada de 5 é 0.
  • Para -2x^{3}, usar a regra do poder e a constante multiplicativa: \dfrac{d}{dx}(x^{3})=3x^{2}, então \dfrac{d}{dx}(-2x^{3})=-2\cdot 3x^{2}=-6x^{2}.
    Portanto
v'(x)=0-6x^{2}=-6x^{2}.

Passo 6

Aplicando a regra do produto \;y' = u'v + uv'\; com os u,u',v,v' que encontramos:
y'=(2x)\,(5-2x^{3})+(x^{2}+3)\,(-6x^{2}).
Agora simplifico termo a termo. Primeiro multiplicando:
(2x)(5-2x^{3})=10x-4x^{4},
(x^{2}+3)(-6x^{2})=-6x^{4}-18x^{2}.
Somando:
y'=(10x-4x^{4})+(-6x^{4}-18x^{2})=10x-4x^{4}-6x^{4}-18x^{2}.
Combino os termos semelhantes:
y'=-10x^{4}-18x^{2}+10x.

Passo 7

Agora avaliamos a derivada em \;x_{0}=1\;. Substituindo x=1 na expressão encontrada:
y'(1)=-10(1)^{4}-18(1)^{2}+10(1)=-10-18+10.
Calculando:
-10-18+10=-18.

Resposta

-18

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