Sendo
, determine
d) Os seus intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
d) Os seus intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parte d) do exercício que pede para a gente encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função
. Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas de segunda ordem. Primeiro, a gente vai precisar encontrar a segunda derivada da função, porque é ela que nos ajuda a determinar onde a função está côncava para cima ou para baixo e onde ocorre a mudança de concavidade, que são os pontos de inflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são concavidade e ponto de inflexão. A concavidade de uma função nos diz se o gráfico está “voltado para cima” (côncava para cima) ou “voltado para baixo” (côncava para baixo). Para descobrir isso, usamos a segunda derivada:
- Se a segunda derivada
for positiva, a função é côncava para cima nesse intervalo. - Se for negativa, é côncava para baixo.
Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.
Passo 3
Vamos começar calculando a primeira derivada
da função
. Vamos usar a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos calcular a segunda derivada
. Para isso, vamos derivar
novamente. Vamos usar a regra do quociente:
Mas isso pode ficar complicado, então vamos simplificar passo a passo:
Simplificando ainda mais:
Podemos fatorar:
Passo 5
Agora que temos a segunda derivada
, vamos analisar onde ela é positiva ou negativa. O denominador
é sempre positivo porque qualquer número ao quadrado é positivo e elevado a cubo permanece positivo. Então, o sinal de
depende somente do numerador
.
Vamos resolver a equação
:
Então, os possíveis pontos onde a concavidade pode mudar são
,
e
.
Passo 6
Vamos testar os intervalos determinados por esses valores para ver onde
é positivo ou negativo:
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,, concavidade para cima. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,, concavidade para cima. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,, concavidade para baixo. - Escolha
-
Intervalo
: - Escolha
:
Então,, concavidade para baixo. - Escolha
Passo 7
Agora, identificamos os intervalos de concavidade:
- Côncava para cima:
(já que e ambos têm ) - Côncava para baixo:
(já que e têm )
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, que são em
,
e
.
Resposta
A função
é côncava para cima em
e côncava para baixo em
. Os pontos de inflexão estão em
,
e
.