Sendo g(x) = x / (x^2 + 9), determine
d) Os seus intervalos de concavidade e os pontos de inflexão;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte d) do exercício que pede para a gente encontrar os intervalos de concavidade e os pontos de inflexão da função . Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas de segunda ordem. Primeiro, a gente vai precisar encontrar a segunda derivada da função, porque é ela que nos ajuda a determinar onde a função está côncava para cima ou para baixo e onde ocorre a mudança de concavidade, que são os pontos de inflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são concavidade e ponto de inflexão. A concavidade de uma função nos diz se o gráfico está “voltado para cima” (côncava para cima) ou “voltado para baixo” (côncava para baixo). Para descobrir isso, usamos a segunda derivada:
  • Se a segunda derivada for positiva, a função é côncava para cima nesse intervalo.
  • Se for negativa, é côncava para baixo.
    Um ponto de inflexão ocorre onde a concavidade muda, ou seja, onde a segunda derivada muda de sinal.

Passo 3

Vamos começar calculando a primeira derivada da função . Vamos usar a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos calcular a segunda derivada . Para isso, vamos derivar novamente. Vamos usar a regra do quociente:
Mas isso pode ficar complicado, então vamos simplificar passo a passo:
Simplificando ainda mais:
Podemos fatorar:

Passo 5

Agora que temos a segunda derivada , vamos analisar onde ela é positiva ou negativa. O denominador é sempre positivo porque qualquer número ao quadrado é positivo e elevado a cubo permanece positivo. Então, o sinal de depende somente do numerador .
Vamos resolver a equação :
Então, os possíveis pontos onde a concavidade pode mudar são , e .

Passo 6

Vamos testar os intervalos determinados por esses valores para ver onde é positivo ou negativo:
  1. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, , concavidade para cima.
  2. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, , concavidade para cima.
  3. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, , concavidade para baixo.
  4. Intervalo :
    • Escolha :
    Então, , concavidade para baixo.

Passo 7

Agora, identificamos os intervalos de concavidade:
  • Côncava para cima: (já que e ambos têm )
  • Côncava para baixo: (já que e têm )
Os pontos de inflexão ocorrem onde a concavidade muda, que são em , e .

Resposta

A função é côncava para cima em e côncava para baixo em . Os pontos de inflexão estão em , e .

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