Determine as equações dos traços nos planos coordenados e esboce os traços em um sistema de coordenadas cartesianas.
z=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}

Passo 1

O enunciado pede os traços da superfície
z = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}
nos planos coordenados \,z=0, \,y=0 e \,x=0, e em seguida esboçar cada um desses traços. Para isso, basta anular a coordenada correspondente em cada caso e ver que curva aparece naquele plano.

Passo 2

Traço em z=0:
Substituindo z=0 na equação da superfície, obtém-se
0 = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{9}.
Como \tfrac{x^2}{4}\ge0 e \tfrac{y^2}{9}\ge0, a soma só pode ser zero se x=0 e y=0. Logo, o traço em z=0 é o ponto (0,0,0).

Passo 3

Traço em y=0:
Substituindo y=0 na equação da superfície, vem
z = \frac{x^2}{4}.
No plano (x,z) (onde y=0), isto é uma parábola de vértice em (0,0) que abre para cima.

Passo 4

Traço em x=0:
Substituindo x=0 na equação da superfície, vem
z = \frac{y^2}{9}.
No plano (y,z) (onde x=0), também surge uma parábola de vértice em (0,0) que abre para cima.

Resposta

Plano z=0: ponto (0,0,0)
Plano y=0: parábola \,z = \frac{x^2}{4} no plano (x,z)
Plano x=0: parábola \,z = \frac{y^2}{9} no plano (y,z)
Esboço:
  • No plano y=0, desenhe z=(1/4)x^2.
  • No plano x=0, desenhe z=(1/9)y^2.
  • No plano z=0, marque apenas o ponto (0,0).

Exercícios relacionados