Seja u=(x, y, z, w) \in \mathbb{R}^{4} um vetor genérico de \mathbb{R}^{4}. Quais das funções abaixo são transformações lineares?
(c) T(u)=(x, y-z, y+z, x+w);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a aplicação
T\colon \mathbb{R}^{4}\to\mathbb{R}^{4},\quad T(x,y,z,w) = (\,x,\;y - z,\;y + z,\;x + w\,)
é uma transformação linear. Para isso precisamos checar duas propriedades: aditividade \,T(u+v)=T(u)+T(v) e homogeneidade \,T(\alpha u)=\alpha\,T(u).

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
u=(x,y,z,w),\quad v=(x',y',z',w').
Então
u+v=(x+x',\,y+y',\,z+z',\,w+w'),
e
T(u+v)=\bigl(x+x',\;(y+y')-(z+z'),\;(y+y')+(z+z'),\;(x+x')+(w+w')\bigr).
Reagrupando os termos:
T(u+v) =(\,x+x',\;y-z+y'-z',\;y+z+y'+z',\;x+w+x'+w') =T(u)+T(v).

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Seja \alpha\in\mathbb{R}. Então
\alpha\,u=(\alpha x,\;\alpha y,\;\alpha z,\;\alpha w),
T(\alpha u) =\bigl(\alpha x,\;\alpha y-\alpha z,\;\alpha y+\alpha z,\;\alpha x+\alpha w\bigr) =\alpha\,(x,\;y-z,\;y+z,\;x+w) =\alpha\,T(u).

Resposta

T satisfaz aditividade e homogeneidade, logo é de fato uma transformação linear.

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