Seja T: V \rightarrow V um operador linear. Diremos que \lambda é um autovalor de T e \vec{v} \neq \overrightarrow{0} um autovetor de T associado a \lambda se T(v)=\lambda \cdot v. Neste sentido, determine os autovalores e autovetores associados áos operadores lineares a seguir.
(c) T: \mathbb{P}_{2} \rightarrow \mathbb{P}_{2}, T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{2}+c x+b

Passo 1

Estamos em \mathbb{P}_2, o espaço dos polinômios de grau até 2, e temos o operador linear
T(a x^{2}+b x+c)=a x^{2}+c x+b.
Queremos achar todos os \emph{autovalores} \lambda e, para cada um, os \emph{autovetores} (polinômios não nulos p tais que T(p)=\lambda p). Vamos usar representação matricial em uma base conveniente e depois resolver o polinômio característico.

Passo 2

Escolhemos a base canônica \{x^{2},\,x,\,1\}. Nessa base, se p=(a,b,c) em coordenadas,
T(a,b,c)=(a,c,b).
Logo a matriz de T é
[T] = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1\\\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix},
pois x^{2} vai em 1\cdot x^{2}, e a parte \{x,1\} sofre a troca de posições.

Passo 3

Para encontrar os autovalores, calculamos o determinante de [T]-\lambda I. Como a matriz é bloco-diagonal em \{x^2\}\oplus\{x,1\}, temos
\det([T]-\lambda I) = (1-\lambda)\,\det\!\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[6pt]1 & -\lambda\end{pmatrix} = (1-\lambda)\,(\lambda^2-1).
Então o polinômio característico é
(1-\lambda)(\lambda-1)(\lambda+1)=(1-\lambda)^2(\lambda+1),
de onde os autovalores são
\lambda_1 = 1\quad(\text{multiplicidade 2}), \quad \lambda_2 = -1\quad(\text{multiplicidade 1}).]

Passo 4

Agora achamos os autovetores.
Para \lambda=1: resolvemos ([T]-I)v=0. No bloco x^2 isso dá (1-1)a=0, ou seja, a livre. No bloco \{x,1\} ficamos com
\begin{pmatrix}-1 & 1\\[3pt]1 & -1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b\c\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad b=c.
Logo os autovetores são todos os polinômios da forma
p(x) = a\,x^{2} + b\,(x+1),
com (a,b)\neq(0,0).
Para \lambda=-1: no componente x^{2} temos (1+1)a=2a=0, logo a=0. No bloco \{x,1\} resolvemos
\begin{pmatrix}1 & 1\\[3pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}b\c\end{pmatrix} =0 \quad\Longrightarrow\quad b=-c.
Então os autovetores são os polinômios da forma
p(x) = b\,(x - 1),
com b\neq0.]

Resposta

\displaystyle\lambda=1, com espaço próprio \{\,a\,x^2 + b\,(x+1)\mid (a,b)\neq(0,0)\}. \displaystyle\lambda=-1, com espaço próprio \{\,b\,(x-1)\mid b\neq0\}.

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