Seja T: V \rightarrow V um operador linear. Diremos que \lambda é um autovalor de T e \vec{v} \neq \overrightarrow{0} um autovetor de T associado a \lambda se T(v)=\lambda \cdot v. Neste sentido, determine os autovalores e autovetores associados áos operadores lineares a seguir.
(c) T: \mathbb{P}_{2} \rightarrow \mathbb{P}_{2}, T\left(a x^{2}+b x+c\right)=a x^{2}+c x+b
Passo 1
Estamos em \mathbb{P}_2, o espaço dos polinômios de grau até 2, e temos o operador linear
T(a x^{2}+b x+c)=a x^{2}+c x+b.
Queremos achar todos os \emph{autovalores} \lambda e, para cada um, os \emph{autovetores} (polinômios não nulos p tais que T(p)=\lambda p). Vamos usar representação matricial em uma base conveniente e depois resolver o polinômio característico.
Passo 2
Escolhemos a base canônica \{x^{2},\,x,\,1\}. Nessa base, se p=(a,b,c) em coordenadas,
\displaystyle\lambda=1, com espaço próprio \{\,a\,x^2 + b\,(x+1)\mid (a,b)\neq(0,0)\}. \displaystyle\lambda=-1, com espaço próprio \{\,b\,(x-1)\mid b\neq0\}.