Mostre que para quaisquer x, y e z reais, vale
x y+y z+z x \leq x^{2}+y^{2}+z^{2}
Sugestão: use a Desigualdade de Cauchy-Schwarz.

Passo 1

O enunciado pede mostrar que, para quaisquer x,y,z\in\mathbb{R},
xy + yz + zx \;\le\; x^2 + y^2 + z^2.
Vamos aplicar a Desigualdade de Cauchy–Schwarz, que afirma que para vetores u,v\in\mathbb{R}^3 vale
|u\cdot v|\;\le\;\|u\|\;\|v\|.

Passo 2

Definimos
u=(x,y,z), \quad v=(y,z,x).
Então o produto interno é
u\cdot v \;=\; xy + yz + zx
e as normas são
\|u\| = \sqrt{x^2+y^2+z^2}, \quad \|v\| = \sqrt{y^2+z^2+x^2} = \sqrt{x^2+y^2+z^2} = \|u\|.

Passo 3

Pela Desigualdade de Cauchy–Schwarz temos
|xy + yz + zx| = |\,u\cdot v\,| \le \|u\|\;\|v\| = (\!x^2 + y^2 + z^2\!).
Como x^2+y^2+z^2\ge0 e sempre vale
xy + yz + zx \;\le\; |xy + yz + zx|,
segue imediatamente
xy + yz + zx \;\le\; x^2 + y^2 + z^2.

Resposta

xy + yz + zx \;\le\; x^2 + y^2 + z^2.

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