O versor de um vetor v é um vetor \tilde{v} que tem mesma direção e sentido de v, mas com norma 1. Ache o versor do vetor (1,2,2). Dé exemplos de vetores ortogonais aos vetores acima.

Passo 1

O enunciado pede o versor de v=(1,2,2) — isto é, o vetor de mesma direção e sentido de v com norma 1 — e exemplos de vetores ortogonais a esse vetor. Vamos usar o cálculo da norma e o produto escalar.

Passo 2

Calcular a norma de v. Por definição,
\|v\| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2}
\|v\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.

Passo 3

Obter o versor \tilde v dividindo cada componente de v pela norma:
\tilde v = \frac{1}{\|v\|}\,v \quad\Longrightarrow\quad \tilde v = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right).

Passo 4

Para encontrar vetores ortogonais a v (e também a \tilde v), basta escolher w=(x,y,z) tal que v\cdot w=0. Por exemplo:
  1. Tome w_1=(2,-1,0).
    Então
v\cdot w_1 = 1\cdot2 + 2\cdot(-1) + 2\cdot0 = 2 - 2 + 0 = 0.
  1. Tome w_2=(2,0,-1).
    Então
v\cdot w_2 = 1\cdot2 + 2\cdot0 + 2\cdot(-1) = 2 + 0 - 2 = 0.
Esses são exemplos de vetores ortogonais a v e, por terem mesma direção de v, também ortogonais a \tilde v.

Resposta

O versor de v=(1,2,2) é
\tilde v = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right).
Exemplos de vetores ortogonais a v (e a \tilde v) são
w_1 = (2,-1,0) \quad\text{e}\quad w_2 = (2,0,-1).

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