Encontre a forma reduzida e identifique as seguintes cônicas e quádricas:
(a). 3 x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x z=2
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície tridimensional
3x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+2xz=2
Queremos colocar essa equação numa forma diagonal (reduzida) e reconhecer que tipo de quádricas ela representa. Para isso vamos usar a ideia de diagonalizar o formulário quadrático em x,z por meio de uma rotação no plano xz.
Passo 2
Isolamos a parte que envolve x e z:
Q(x,z)=3x^{2}+3z^{2}+2xz.
Podemos ver Q como um formulário quadrático cuja matriz é
M=\begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
já que o termo 2xz corresponde a entradas off-diagonais iguais a 1. Como M é simétrica, ela é diagonalizável por uma rotação.