Encontre a forma reduzida e identifique as seguintes cônicas e quádricas:
(a). 3 x^{2}+2 y^{2}+3 z^{2}+2 x z=2

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície tridimensional
3x^{2}+2y^{2}+3z^{2}+2xz=2
Queremos colocar essa equação numa forma diagonal (reduzida) e reconhecer que tipo de quádricas ela representa. Para isso vamos usar a ideia de diagonalizar o formulário quadrático em x,z por meio de uma rotação no plano xz.

Passo 2

Isolamos a parte que envolve x e z:
Q(x,z)=3x^{2}+3z^{2}+2xz.
Podemos ver Q como um formulário quadrático cuja matriz é
M=\begin{pmatrix} 3 & 1\\\\ 1 & 3 \end{pmatrix},
já que o termo 2xz corresponde a entradas off-diagonais iguais a 1. Como M é simétrica, ela é diagonalizável por uma rotação.

Passo 3

Os autovalores de M são
\lambda_{1}=3+1=4,\quad \lambda_{2}=3-1=2.
Uma escolha clássica de variáveis ortonormais é
u=\frac{x+z}{\sqrt{2}}, \quad v=\frac{x-z}{\sqrt{2}},
que corresponde a rotacionar 45\circ no plano xz. Nessas variáveis, o formulário vira
Q(x,z)=4\,u^{2}+2\,v^{2}.

Passo 4

Substituindo de volta na equação original, temos
4u^{2}+2v^{2}+2y^{2}=2.
Agora basta dividir tudo por 2 para obter a forma canônica:

Passo 5

2u^{2}+v^{2}+y^{2}=1.

Resposta

Usando
u=\frac{x+z}{\sqrt{2}},\quad v=\frac{x-z}{\sqrt{2}},
a forma reduzida é
2u^{2}+v^{2}+y^{2}=1,
que descreve um elipsoide com semi-eixos \sqrt{\tfrac12}, 1 e 1.

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