Encontre um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P, Q e R e calcule a área do triângulo P Q R. Dica: Observe que os vetores P Q e P R estão no plano, logo o vetor que procuramos é P Q wed>= P R.
P=(7,-2,0), Q=(3,1,3) e R=(4,-4,2).

Passo 1

O enunciado pede um vetor não nulo ortogonal ao plano que passa pelos pontos P=(7,-2,0), Q=(3,1,3) e R=(4,-4,2), e também a área do triângulo PQR. Para isso vamos usar produto vetorial ( wed>=) e a relação de área de um triângulo em termos do módulo do produto vetorial dos vetores que formam dois lados.

Passo 2

Calcular os vetores no plano:
PQ = Q - P = (3-7,;1-(-2),;3-0) = (-4,,3,,3),
PR = R - P = (4-7,;-4-(-2),;2-0) = (-3,,-2,,2)

Passo 3

Fazer o produto vetorial PQwed>=PR, que nos dá um vetor ortogonal:
PQwed>=PR = i&j&k -4&3&3 -3&-2&2 = l(3cdot2 - 3cdot(-2),;-l(-4cdot2 - 3cdot(-3)r),;-4cdot(-2)-3cdot(-3)r) = (12,,-1,,17)

Passo 4

O módulo desse vetor é
l|PQwed>=PRr| = raiz12^2 + (-1)^2 + 17^2 = raiz144 + 1 + 289 = raiz434
Como a área do triângulo é metade do módulo do produto vetorial, temos
Áreatriang<= PQR = 12,raiz434 Á

Resposta

Vetor ortogonal (não nulo): (12,,-1,,17)
Área do triângulo PQR: raiz4342

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