Seja
o operador linear dado pela fórmula
Quais dos seguintes vetores estão em
?
(a)
(b)
(c)
Quais dos seguintes vetores estão em
?
(a)
(b)
(c)
Encontre uma base para o Núcleo e uma base para a Imagem desta transformação.
(a)
(b)
(c)
Quais dos seguintes vetores estão em
(a)
(b)
(c)
Encontre uma base para o Núcleo e uma base para a Imagem desta transformação.
Passo 1
O enunciado define
por
O objetivo é (1) dizer quais dos vetores dados estão em
, (2) quais estão em
e (3) encontrar bases de
e de
. Vamos usar álgebra linear básica: colunas de
formam a imagem e resolver
dá o núcleo.
Passo 2
Para achar
formamos a matriz
cujas colunas são
e
. Observamos que
então as colunas são colineares e
Um vetor
está em
exatamente se
. Verificando:
-
satisfaz , está em . -
não satisfaz , não está. -
satisfaz , está.
Passo 3
Para achar
resolvemos
Da primeira vem
e a segunda é redundante, então
Um vetor
está no núcleo exatamente se
. Verificando:
-
satisfaz , está em . -
não satisfaz , não está. -
não satisfaz , não está.
Resposta
Im(T) contém
e
.
Nuc(T) contém .
Uma base de é
.
Uma base de é
.
Nuc(T) contém
Uma base de
Uma base de