Seja T: R^2 R^2 o operador linear dado pela fórmula
T(x, y)=(2 x-y,-8 x+4 y)
Quais dos seguintes vetores estão em Im(T) ?
(a) (1,-4)
(b) (5,0)
(c) (-3,12)
Quais dos seguintes vetores estão em Nuc(T) ?
(a) (5,10)
(b) (3,2)
(c) (1,1)
Encontre uma base para o Núcleo e uma base para a Imagem desta transformação.

Passo 1

O enunciado define TcolonR^2toR^2 por
T(x,y)=(2x-y,,-8x+4y)
O objetivo é (1) dizer quais dos vetores dados estão em Im(T), (2) quais estão em Nuc(T) e (3) encontrar bases de Im(T) e de Nuc(T). Vamos usar álgebra linear básica: colunas de T formam a imagem e resolver T(x,y)=0 dá o núcleo.

Passo 2

Para achar Im(T) formamos a matriz
A=2 & -1-8&4,
cujas colunas são (2,-8) e (-1,4). Observamos que
(-1,4)=-tfrac12,(2,-8),
então as colunas são colineares e
Im(T)=span(2,-8)=span(1,-4)
Um vetor (a,b) está em Im(T) exatamente se b=-4a. Verificando:
  • (1,-4) satisfaz -4=-4cdot1, está em Im(T).
  • (5,0) não satisfaz 0=-4cdot5, não está.
  • (-3,12) satisfaz 12=-4cdot(-3), está.

Passo 3

Para achar Nuc(T) resolvemos
2x-y=0, -8x+4y=0
Da primeira vem y=2x e a segunda é redundante, então
Nuc(T)=(x,2x)mid xinR=span(1,2)
Um vetor (u,v) está no núcleo exatamente se v=2u. Verificando:
  • (5,10) satisfaz 10=2cdot5, está em Nuc(T).
  • (3,2) não satisfaz 2=2cdot3, não está.
  • (1,1) não satisfaz 1=2cdot1, não está.

Resposta

Im(T) contém (1,-4) e (-3,12).
Nuc(T) contém (5,10).
Uma base de Im(T) é (1,-4).
Uma base de Nuc(T) é (1,2).

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