Esboce a curva e determine a equação cartesiana das funções vetoriais
\gamma(t)=(-\cos t, \sin t), t \in[0,2 \pi]

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a curva dada por \gamma(t)=(-\cos t,\sin t) em t\in[0,2\pi] e encontrar sua equação cartesiana. O conteúdo envolve curvas paramétricas e uso da identidade trigonométrica fundamental.

Passo 2

Seja
x(t)=-\cos t, \qquad y(t)=\sin t.
Da trigonometria, sabemos que
\cos^2 t + \sin^2 t = 1.
Como \cos t=-x e \sin t=y, substituindo obtemos
(-x)^2 + y^2 = 1 \;\Longrightarrow\; x^2 + y^2 = 1.

Passo 3

Para t=0 temos \gamma(0)=(-1,0). À medida que t aumenta de 0 a 2\pi, o ponto percorre todo o círculo de raio 1 centrado na origem. Em t=\pi/2 atinge (0,1), em t=\pi volta a (1,0), em t=3\pi/2 chega a (0,-1) e em t=2\pi retorna a (-1,0). A orientação é anti-horária, iniciando em (-1,0).

Resposta

A equação cartesiana é
x^2 + y^2 = 1.
O esboço é o círculo de centro O e raio 1, percorrido no sentido anti-horário começando em (-1,0).

Exercícios relacionados