Determine as equações vetorial, paramétricas, simétricas e reduzidas para a reta que é ortogonal ao plano OXZ e passa pelo ponto \mathrm{B}(3,-1,0).

Passo 1

O enunciado pede as equações vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida da reta que é ortogonal ao plano OXZ e passa por B(3,-1,0). O conteúdo envolve identificar o vetor normal ao plano OXZ, que será o vetor direção da reta, e então escrever suas diferentes formas.

Passo 2

O plano OXZ é formado pelos eixos x e z, logo sua equação é
y = 0.
O vetor normal a esse plano é \vec n=(0,1,0). Como a reta deve ser perpendicular ao plano, seu vetor direção será
\vec v = \vec n = (0,1,0).

Passo 3

A equação vetorial da reta, usando o ponto B(3,-1,0) e o vetor direção \vec v, é
\vec r = \overrightarrow{OB} + t\,\vec v = (3,-1,0) + t\,(0,1,0).

Passo 4

Das componentes da equação vetorial, obtemos as equações paramétricas:
\begin{cases} x = 3,\\[6pt] y = -1 + t,\\[6pt] z = 0. \end{cases}]

Passo 5

A forma simétrica padrão
\frac{x - x_0}{a} = \frac{y - y_0}{b} = \frac{z - z_0}{c}
fica aqui
\frac{x - 3}{0} \;=\;\frac{y + 1}{1}\;=\;\frac{z - 0}{0}.
Como não podemos dividir por zero, isso implica
x = 3 \quad\text{e}\quad z = 0,
enquanto \tfrac{y+1}{1} é o parâmetro.

Passo 6

A forma reduzida da reta é a interseção dos planos que fixam as coordenadas constantes, isto é,
x - 3 = 0 \quad\text{e}\quad z = 0.

Resposta

Equação vetorial:
\vec{r} = (3,-1,0) + t\,(0,1,0).
Equações paramétricas:
\begin{cases} x = 3,\\\ y = -1 + t,\\\ z = 0. \end{cases}
Equação simétrica:
\frac{x-3}{0} = \frac{y+1}{1} = \frac{z}{0}
Equivalente a
x = 3,\quad z = 0.
Equações reduzidas:
x = 3,\quad z = 0.

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